Γραμμική εξίσωση vs Μη γραμμική εξίσωση
Στα μαθηματικά, οι αλγεβρικές εξισώσεις είναι εξισώσεις, οι οποίες σχηματίζονται χρησιμοποιώντας πολυώνυμα. Όταν γράφονται ρητά οι εξισώσεις θα είναι της μορφής P(x)=0, όπου x είναι διάνυσμα n άγνωστων μεταβλητών και P είναι πολυώνυμο. Για παράδειγμα, το P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 είναι μια αλγεβρική εξίσωση σε δύο μεταβλητές γραμμένες ρητά. Επίσης, (x+y)3 =3x2y – 3zy4 είναι μια αλγεβρική εξίσωση, αλλά σε σιωπηρή μορφή και θα έχει τη μορφή Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, αφού γραφτεί ρητά.
Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας αλγεβρικής εξίσωσης είναι ο βαθμός της. Ορίζεται ως η υψηλότερη ισχύς των όρων που εμφανίζονται στην εξίσωση. Εάν ένας όρος αποτελείται από δύο ή περισσότερες μεταβλητές, το άθροισμα των εκθετών κάθε μεταβλητής θα ληφθεί ως η δύναμη του όρου. Παρατηρήστε ότι σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό το P(x, y)=0 είναι του βαθμού 5, ενώ το Q(x, y, z)=0 είναι του βαθμού 5.
Οι γραμμικές και οι μη γραμμικές εξισώσεις είναι μια διαίρεση που ορίζεται στο σύνολο των αλγεβρικών εξισώσεων. Ο βαθμός της εξίσωσης είναι ο παράγοντας που τους διαφοροποιεί μεταξύ τους.
Τι είναι μια γραμμική εξίσωση;
Μια γραμμική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού 1. Για παράδειγμα, 4x + 5=0 είναι μια γραμμική εξίσωση μιας μεταβλητής. x + y + 5z=0 και 4x=3w + 5y + 7z είναι γραμμικές εξισώσεις 3 και 4 μεταβλητών αντίστοιχα. Γενικά, μια γραμμική εξίσωση n μεταβλητών θα έχει τη μορφή m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =β. Εδώ, οι xi είναι οι άγνωστες μεταβλητές, οι mi και b είναι πραγματικοί αριθμοί όπου καθένας από τους mi Το δεν είναι μηδενικό.
Μια τέτοια εξίσωση αντιπροσωπεύει ένα υπερεπίπεδο στον ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Συγκεκριμένα, μια γραμμική εξίσωση δύο μεταβλητών αντιπροσωπεύει μια ευθεία γραμμή σε καρτεσιανό επίπεδο και μια γραμμική εξίσωση τριών μεταβλητών αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο στον ευκλείδειο 3-διάστημα.
Τι είναι μια μη γραμμική εξίσωση;
Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση, η οποία δεν είναι γραμμική. Με άλλα λόγια, μια μη γραμμική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού 2 ή υψηλότερου. x2 + 3x + 2=0 είναι μια μονή μεταβλητή μη γραμμική εξίσωση. x2 + y3+ 3xy=4 και 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 είναι παραδείγματα μη γραμμικών εξισώσεων 3 και 4 μεταβλητών αντίστοιχα.
Μια μη γραμμική εξίσωση δεύτερου βαθμού ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση. Αν ο βαθμός είναι 3, τότε ονομάζεται κυβική εξίσωση. Οι εξισώσεις βαθμού 4 και βαθμού 5 ονομάζονται εξισώσεις quartic και quintic αντίστοιχα. Έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει αναλυτική μέθοδος για την επίλυση οποιασδήποτε μη γραμμικής εξίσωσης βαθμού 5, και αυτό ισχύει και για οποιονδήποτε υψηλότερο βαθμό. Οι επιλύσιμες μη γραμμικές εξισώσεις αντιπροσωπεύουν υπερεπιφάνειες που δεν είναι υπερεπίπεδα.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ γραμμικής και μη γραμμικής εξίσωσης;
• Μια γραμμική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού 1, αλλά μια μη γραμμική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού 2 ή υψηλότερη.
• Αν και οποιαδήποτε γραμμική εξίσωση είναι αναλυτικά επιλύσιμη, δεν συμβαίνει στις μη γραμμικές εξισώσεις.
• Στον ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, ο χώρος λύσης μιας γραμμικής εξίσωσης n-μεταβλητής είναι ένα υπερεπίπεδο, ενώ αυτός μιας μη γραμμικής εξίσωσης n-μεταβλητής είναι μια υπερ επιφάνεια, η οποία δεν είναι υπερεπίπεδο. (Τετραγωνικά, κυβικές επιφάνειες κ.λπ.)
