Διαφορά μεταξύ γραμμικής εξίσωσης και τετραγωνικής εξίσωσης

2025 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2025-01-23 11:02

Γραμμική εξίσωση vs Τετραγωνική εξίσωση

Στα μαθηματικά, οι αλγεβρικές εξισώσεις είναι εξισώσεις που σχηματίζονται χρησιμοποιώντας πολυώνυμα. Όταν γράφονται ρητά οι εξισώσεις θα είναι της μορφής P(x)=0, όπου x είναι διάνυσμα n άγνωστων μεταβλητών και P είναι πολυώνυμο. Για παράδειγμα, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=Το 0 είναι μια αλγεβρική εξίσωση δύο μεταβλητών γραμμένων ρητά. Επίσης, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ είναι μια αλγεβρική εξίσωση, αλλά σε άρρητη μορφή. Θα πάρει τη μορφή Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, αφού γραφτεί ρητά.}

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας αλγεβρικής εξίσωσης είναι ο βαθμός της. Ορίζεται ως η υψηλότερη ισχύς των όρων που εμφανίζονται στην εξίσωση. Εάν ένας όρος αποτελείται από δύο ή περισσότερες μεταβλητές, το άθροισμα των εκθετών κάθε μεταβλητής θα ληφθεί ως η δύναμη του όρου. Παρατηρήστε ότι σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό P(x, y)=0 είναι του βαθμού 4 ενώ το Q(x, y, z)=0 είναι του βαθμού 5.

Οι γραμμικές και οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι δύο διαφορετικοί τύποι αλγεβρικών εξισώσεων. Ο βαθμός της εξίσωσης είναι ο παράγοντας που τις διαφοροποιεί από τις υπόλοιπες αλγεβρικές εξισώσεις.

Τι είναι μια γραμμική εξίσωση;

Μια γραμμική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού 1. Για παράδειγμα, 4x + 5=0 είναι μια γραμμική εξίσωση μιας μεταβλητής. x + y + 5z=0 και 4x=3w + 5y + 7z είναι γραμμικές εξισώσεις 3 και 4 μεταβλητών αντίστοιχα. Γενικά, μια γραμμική εξίσωση n μεταβλητών θα έχει τη μορφή m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =β. Εδώ, οι x_i είναι οι άγνωστες μεταβλητές, οι m_i και b είναι πραγματικοί αριθμοί όπου καθένας από τους m_{i Το} δεν είναι μηδενικό.

Μια τέτοια εξίσωση αντιπροσωπεύει ένα υπερεπίπεδο στον ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Συγκεκριμένα, μια γραμμική εξίσωση δύο μεταβλητών αντιπροσωπεύει μια ευθεία γραμμή σε καρτεσιανό επίπεδο και μια γραμμική εξίσωση τριών μεταβλητών αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο στον ευκλείδειο 3-διάστημα.

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση δεύτερου βαθμού. x² + 3x + 2=0 είναι μια τετραγωνική εξίσωση μεμονωμένης μεταβλητής. x² + y² + 3x=4 και 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 είναι παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων 2 και 3 μεταβλητών αντίστοιχα.}

Στην περίπτωση της απλής μεταβλητής, η γενική μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι ax² + bx + c=0. Όπου a, b, c είναι πραγματικοί αριθμοί από τους οποίους Το 'a' είναι μη μηδενικό. Η διάκριση ∆=(b^{2 – 4ac) καθορίζει τη φύση των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης. Οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι πραγματικά ευδιάκριτες, πραγματικές παρόμοιες και μιγαδικές σύμφωνα με το Δ είναι θετικό, μηδέν και αρνητικό. Οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν εύκολα να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο x=(- b ± √∆) / 2a.}

Στην περίπτωση των δύο μεταβλητών, η γενική μορφή θα ήταν ax² + κατά^{2 + cxy + dx + ex + f=0, και αυτό αντιπροσωπεύει μια κωνική (παραβολή, υπερβολική ή έλλειψη) σε καρτεσιανό επίπεδο. Σε υψηλότερες διαστάσεις, αυτός ο τύπος εξισώσεων αντιπροσωπεύει υπερ-επιφάνειες γνωστές ως τετραγωνιστές.}

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων;

• Μια γραμμική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού 1, ενώ μια τετραγωνική είναι μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού 2.

• Στον ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, ο χώρος επίλυσης μιας γραμμικής εξίσωσης n-μεταβλητής είναι υπερεπίπεδο ενώ αυτός μιας τετραγωνικής εξίσωσης n-μεταβλητής είναι μια τετραγωνική επιφάνεια.