Διαφορά μεταξύ διωνυμικής και κανονικής κατανομής

2024 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 13:36

Διωνυμική έναντι κανονικής κατανομής

Οι κατανομές πιθανοτήτων τυχαίων μεταβλητών παίζουν σημαντικό ρόλο στον τομέα της στατιστικής. Από αυτές τις κατανομές πιθανοτήτων, η διωνυμική κατανομή και η κανονική κατανομή είναι δύο από τις πιο συχνά εμφανιζόμενες στην πραγματική ζωή.

Τι είναι η διωνυμική κατανομή;

Διωνυμική κατανομή είναι η κατανομή πιθανότητας που αντιστοιχεί στην τυχαία μεταβλητή X, η οποία είναι ο αριθμός των επιτυχιών μιας πεπερασμένης ακολουθίας ανεξάρτητων πειραμάτων ναι/όχι, καθένα από τα οποία έχει πιθανότητα επιτυχίας p. Από τον ορισμό του X, είναι προφανές ότι είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή. Επομένως, η διωνυμική κατανομή είναι επίσης διακριτή.

Η κατανομή συμβολίζεται ως X ~ B (n, p) όπου n είναι ο αριθμός των πειραμάτων και p είναι η πιθανότητα επιτυχίας. Σύμφωνα με τη θεωρία πιθανοτήτων, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το B (n, p) ακολουθεί τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/λάτεξ]. Από αυτή την εξίσωση, μπορεί να συναχθεί περαιτέρω ότι η αναμενόμενη τιμή των X, E(X)=np και η διακύμανση των X, V(X)=np (1- p).

Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα τυχαίο πείραμα ρίψης ενός νομίσματος 3 φορές. Ορίστε την επιτυχία ως απόκτηση Η, την αποτυχία ως απόκτηση Τ και την τυχαία μεταβλητή Χ ως τον αριθμό των επιτυχιών στο πείραμα. Στη συνέχεια, X ~ B (3, 0,5) και η συνάρτηση μάζας πιθανότητας του X δίνεται από [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/λάτεξ]. Επομένως, η πιθανότητα να ληφθούν τουλάχιστον 2 H είναι P(X ≥ 2)=P (X=2 ή X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Τι είναι η κανονική κατανομή;

Κανονική κατανομή είναι η συνεχής κατανομή πιθανότητας που ορίζεται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Οι παράμετροι [latex] \mu και \\sigma [/latex] υποδηλώνουν τον μέσο όρο και την τυπική απόκλιση του πληθυσμού ενδιαφέροντος. Όταν [latex] \mu=0 και \\sigma=1 [/latex] η κατανομή ονομάζεται τυπική κανονική κατανομή.

Αυτή η κατανομή ονομάζεται κανονική αφού τα περισσότερα φυσικά φαινόμενα ακολουθούν την κανονική κατανομή. Για παράδειγμα, το IQ του ανθρώπινου πληθυσμού κατανέμεται κανονικά. Όπως φαίνεται από το γράφημα είναι μονοτροπικό, συμμετρικό ως προς τον μέσο όρο και το σχήμα καμπάνας. Ο μέσος όρος, ο τρόπος λειτουργίας και ο διάμεσος συμπίπτουν. Η περιοχή κάτω από την καμπύλη αντιστοιχεί στο τμήμα του πληθυσμού, ικανοποιώντας μια δεδομένη συνθήκη.

Τα τμήματα του πληθυσμού στο διάστημα [λάτεξ] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] είναι περίπου 68,2%, 95,6% και 99,8% αντίστοιχα.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Διωνυμικής και Κανονικής Κατανομής;

• Η διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή κατανομή πιθανότητας ενώ η κανονική κατανομή είναι μια συνεχής.
• Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της διωνυμικής κατανομής είναι [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], ενώ η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής είναι [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Η διωνυμική κατανομή προσεγγίζεται με την κανονική κατανομή υπό ορισμένες συνθήκες, αλλά όχι το αντίστροφο.