Gaussian vs Normal Distribution
Πρώτα και κύρια η κανονική κατανομή και η κατανομή Gauss χρησιμοποιούνται για την αναφορά της ίδιας κατανομής, η οποία είναι ίσως η πιο συχνή κατανομή στη στατιστική θεωρία.
Για μια τυχαία μεταβλητή x με Gaussian ή Normal κατανομή, η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας είναι P(x)=[1/(σ√2π)] e^(-(x-µ)2 /2σ2); όπου μ είναι ο μέσος όρος και σ είναι η τυπική απόκλιση. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι (-∞, +∞). Όταν σχεδιάζεται, δίνει τη διάσημη καμπύλη καμπάνας, όπως αναφέρεται συχνά στις κοινωνικές επιστήμες, ή μια καμπύλη Gauss στις φυσικές επιστήμες. Οι κανονικές κατανομές είναι μια υποκατηγορία ελλειπτικών κατανομών. Μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μια περιοριστική περίπτωση της διωνυμικής κατανομής, όπου το μέγεθος του δείγματος είναι άπειρο.
Η κανονική κατανομή έχει πολύ μοναδικά χαρακτηριστικά. Για μια κανονική κατανομή, ο μέσος όρος, ο τρόπος λειτουργίας και η διάμεσος είναι τα ίδια, που είναι μ. Η λοξότητα και η κύρτωση είναι μηδέν και είναι η μόνη απολύτως συνεχής κατανομή με όλα τα αθροιστικά πέραν των δύο πρώτων (μέσος όρος και διακύμανση) να είναι μηδέν. Δίνει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας με μέγιστη εντροπία για οποιεσδήποτε τιμές των παραμέτρων μ και σ2. Η κανονική κατανομή βασίζεται στο θεώρημα του κεντρικού ορίου και μπορεί να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας πρακτικά αποτελέσματα ακολουθώντας τις υποθέσεις.
Η κανονική κατανομή μπορεί να τυποποιηθεί χρησιμοποιώντας έναν μετασχηματισμό z=(X-μ)/σ, ο οποίος τη μετατρέπει σε κατανομή με μ=0 και σ=σ2=1. Αυτός ο μετασχηματισμός επιτρέπει την εύκολη αναφορά στους τυποποιημένους πίνακες τιμών και διευκολύνει την επίλυση προβλημάτων σχετικά με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής.
Οι εφαρμογές κανονικής κατανομής μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε τρεις κατηγορίες. Ακριβείς κανονικές κατανομές, κατά προσέγγιση κανονικές κατανομές και μοντελοποιημένες ή υποθετικές κανονικές κατανομές. Οι ακριβείς κανονικές κατανομές συμβαίνουν στη φύση. Η ταχύτητα των μορίων υψηλής θερμοκρασίας ή των ιδανικών αερίων και η βασική κατάσταση των κβαντικών αρμονικών ταλαντωτών εμφανίζουν κανονικές κατανομές. Οι κατά προσέγγιση κανονικές κατανομές εμφανίζονται σε πολλές περιπτώσεις που εξηγούνται από το θεώρημα του κεντρικού ορίου. Η διωνυμική κατανομή πιθανότητας και η κατανομή Poisson, οι οποίες είναι διακριτές και συνεχείς αντίστοιχα, παρουσιάζουν ομοιότητα με την κανονική κατανομή σε πολύ υψηλά μεγέθη δείγματος.
Στην πράξη, στην πλειονότητα των στατιστικών πειραμάτων, υποθέτουμε ότι η κατανομή είναι κανονική και η θεωρία του μοντέλου που ακολουθεί βασίζεται σε αυτήν την υπόθεση. Ως αποτέλεσμα, οι παράμετροι μπορούν να υπολογιστούν εύκολα για τον πληθυσμό και η διαδικασία εξαγωγής συμπερασμάτων γίνεται ευκολότερη.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της Γκαουσιανής Κατανομής και της Κανονικής Κατανομής;
• Η κατανομή Gauss και η κανονική κατανομή είναι ένα και το αυτό.
