Παράγωγο έναντι Ολοκληρώματος
Η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση είναι δύο θεμελιώδεις πράξεις στον Λογισμό. Έχουν πολυάριθμες εφαρμογές σε διάφορους τομείς, όπως τα Μαθηματικά, η μηχανική και η Φυσική. Τόσο το παράγωγο όσο και το ολοκλήρωμα συζητούν τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης ή συμπεριφοράς μιας φυσικής οντότητας που μας ενδιαφέρει.
Τι είναι Παράγωγο;
Ας υποθέσουμε ότι το y=ƒ(x) και το x0 είναι στον τομέα του ƒ. Τότε limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx ονομάζεται ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής του ƒ στο x0, με την προϋπόθεση ότι αυτό το όριο υπάρχει οριστικά. Αυτό το όριο ονομάζεται επίσης παράγωγος του at και συμβολίζεται με ƒ(x).
Η τιμή της παραγώγου μιας συνάρτησης f σε ένα αυθαίρετο σημείο x στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης δίνεται από το limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Αυτό συμβολίζεται με οποιαδήποτε από τις ακόλουθες εκφράσεις: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Για συναρτήσεις με πολλές μεταβλητές, ορίζουμε μερική παράγωγο. Η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης με πολλές μεταβλητές είναι η παράγωγός της σε σχέση με μία από αυτές τις μεταβλητές, υποθέτοντας ότι οι άλλες μεταβλητές είναι σταθερές. Το σύμβολο της μερικής παραγώγου είναι ∂.
Γεωμετρικά η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να ερμηνευτεί ως η κλίση της καμπύλης της συνάρτησης ƒ(x).
Τι είναι το Integral;
Ολοκλήρωση ή κατά της διαφοροποίησης είναι η αντίστροφη διαδικασία της διαφοροποίησης. Με άλλα λόγια, είναι η διαδικασία εύρεσης μιας αρχικής συνάρτησης όταν δίνεται η παράγωγος της συνάρτησης. Επομένως, ένα ολοκλήρωμα ή μια αντι-παράγωγος μιας συνάρτησης ƒ(x) αν, ƒ(x)=F (x) μπορεί να οριστεί ως η συνάρτηση F (x), για όλα τα x στο πεδίο ορισμού του ƒ(x).
Η έκφραση ∫ƒ(x) dx υποδηλώνει την παράγωγο της συνάρτησης ƒ(x). Αν ƒ(x)=F (x), τότε ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, όπου C είναι μια σταθερά, ∫ƒ(x) dx ονομάζεται το αόριστο ολοκλήρωμα του ƒ(x).
Για οποιαδήποτε συνάρτηση ƒ, η οποία δεν είναι απαραίτητα μη αρνητική και ορίζεται στο διάστημα [a, b], a∫b Το ƒ(x) dx ονομάζεται οριστικό ολοκλήρωμα ƒ στο [a, b].
Το οριστικό ολοκλήρωμα a∫bƒ(x) dx μιας συνάρτησης ƒ(x) μπορεί να ερμηνευτεί γεωμετρικά ως το εμβαδόν του περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη ƒ(x), τον άξονα x και τις ευθείες x=a και x=b.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Παράγωγου και Ολοκληρώματος;
• Το παράγωγο είναι το αποτέλεσμα της διαφοροποίησης της διαδικασίας, ενώ το ολοκλήρωμα είναι το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης της διαδικασίας.
• Η παράγωγος μιας συνάρτησης αντιπροσωπεύει την κλίση της καμπύλης σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο, ενώ η ολοκληρωτική αντιπροσωπεύει την περιοχή κάτω από την καμπύλη.
