Διαφορά μεταξύ του Ολοκληρώματος Riemann και του Ολοκληρώματος Lebesgue

2024 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 13:36

Integral Riemann vs Integral Lebesgue

Η ενσωμάτωση είναι ένα κύριο θέμα στον λογισμό. Με μια ευρύτερη έννοια, η ολοκλήρωση μπορεί να θεωρηθεί ως η αντίστροφη διαδικασία διαφοροποίησης. Κατά τη μοντελοποίηση προβλημάτων του πραγματικού κόσμου, είναι εύκολο να γραφτούν εκφράσεις που περιλαμβάνουν παράγωγα. Σε μια τέτοια περίπτωση, απαιτείται η λειτουργία ολοκλήρωσης για να βρεθεί η συνάρτηση που έδωσε τη συγκεκριμένη παράγωγο.

Από μια άλλη οπτική γωνία, η ολοκλήρωση είναι μια διαδικασία, η οποία αθροίζει το γινόμενο μιας συνάρτησης ƒ(x) και δx, όπου το δx τείνει να είναι ένα ορισμένο όριο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούμε το σύμβολο ολοκλήρωσης ως ∫. Το σύμβολο ∫ είναι στην πραγματικότητα, αυτό που λαμβάνουμε τεντώνοντας το γράμμα s για να αναφέρεται στο άθροισμα.

Ολοκλήρωμα Riemann

Θεωρήστε μια συνάρτηση y=ƒ(x). Το ολοκλήρωμα του y μεταξύ a και b, όπου τα a και b ανήκουν σε ένα σύνολο x, γράφεται ως _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Αυτό ονομάζεται οριστικό ολοκλήρωμα της απλής συνάρτησης με τιμή και συνεχή y=ƒ(x) μεταξύ a και b. Αυτό δίνει την περιοχή κάτω από την καμπύλη μεταξύ a και b. Αυτό ονομάζεται επίσης ολοκλήρωμα Riemann. Το ολοκλήρωμα Riemann δημιουργήθηκε από τον Bernhard Riemann. Το ολοκλήρωμα Riemann μιας συνεχούς συνάρτησης βασίζεται στο μέτρο Jordan, επομένως ορίζεται επίσης ως το όριο των αθροισμάτων Riemann της συνάρτησης. Για μια συνάρτηση με πραγματική τιμή που ορίζεται σε ένα κλειστό διάστημα, το ολοκλήρωμα Riemann της συνάρτησης σε σχέση με ένα διαμέρισμα x₁, x₂, …, x n _{ορίζεται στο διάστημα [a, b] και t}1_{, t}2_{, …, t n}, όπου x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 για κάθε i ε {1, 2, …, n}, το άθροισμα Riemann ορίζεται ως Σ_{i=o έως n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Ολοκληρωμένο Lebesgue

Το Lebesgue είναι ένας άλλος τύπος ολοκληρώματος, που καλύπτει μια μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων από το ολοκλήρωμα Riemann. Το ολοκλήρωμα lebesgue εισήχθη από τον Henri Lebesgue το 1902. Η ολοκλήρωση Legesgue μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση της ολοκλήρωσης Riemann.

Γιατί πρέπει να μελετήσουμε ένα άλλο ολοκλήρωμα;

Ας εξετάσουμε τη χαρακτηριστική συνάρτηση ƒ_{A (x)=}{_{0 εάν, x όχι ε A}^{1 αν, x ε A}σε ένα σύνολο Α. Τότε πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων, ο οποίος ορίζεται ως F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) ονομάζεται απλή συνάρτηση εάν το E} i _{είναι μετρήσιμο για κάθε i. Το ολοκλήρωμα Lebesgue του F (x) έναντι του E συμβολίζεται με} E_{∫ ƒ(x)dx. Η συνάρτηση F (x) δεν είναι ολοκληρωμένη Riemann. Επομένως, το ολοκλήρωμα Lebesgue είναι η αναδιατύπωση του ολοκληρώματος Riemann, το οποίο έχει ορισμένους περιορισμούς στις συναρτήσεις που πρέπει να ενσωματωθούν.}

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του Ολοκληρώματος Riemann και του Ολοκληρώματος Lebesgue;

· Το ολοκλήρωμα Lebesgue είναι μια μορφή γενίκευσης του ολοκληρώματος Riemann.

· Το ολοκλήρωμα Lebesgue επιτρέπει ένα μετρήσιμο άπειρο ασυνεχειών, ενώ το ολοκλήρωμα Riemann επιτρέπει έναν πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών.