Διαφορά μεταξύ αριθμητικής και γεωμετρικής σειράς

2024 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 13:36

Αριθμητική vs Γεωμετρική Σειρά

Ο μαθηματικός ορισμός μιας σειράς σχετίζεται στενά με τις ακολουθίες. Μια ακολουθία είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών και μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο σύνολο. Μια ακολουθία αριθμών με τη διαφορά μεταξύ δύο στοιχείων να είναι σταθερά είναι γνωστή ως αριθμητική πρόοδος. Μια ακολουθία με σταθερό πηλίκο δύο διαδοχικών αριθμών είναι γνωστή ως γεωμετρική πρόοδος. Αυτές οι προόδους μπορεί να είναι είτε πεπερασμένες είτε άπειρες, και αν είναι πεπερασμένος, ο αριθμός των όρων είναι μετρήσιμος, αλλιώς μη μετρήσιμος.

Γενικά, το άθροισμα των στοιχείων σε μια πρόοδο μπορεί να οριστεί ως σειρά. Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι γνωστό ως αριθμητική σειρά. Ομοίως, το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου είναι γνωστό ως γεωμετρική σειρά.

Περισσότερα για την Αριθμητική Σειρά

Σε μια αριθμητική σειρά, οι διαδοχικοί όροι έχουν σταθερή διαφορά.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; όπου a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d και ούτω καθεξής.}

Αυτή η διαφορά d είναι γνωστή ως η κοινή διαφορά και ο όρος n^η δίνεται με a_n =a ₁+ (n-1)d; όπου a_{1 είναι ο πρώτος όρος.}

Η συμπεριφορά της σειράς αλλάζει με βάση την κοινή διαφορά d. Εάν η κοινή διαφορά είναι θετική, η πρόοδος τείνει να είναι θετικό άπειρο, και εάν η κοινή διαφορά είναι αρνητική, τείνει προς το αρνητικό άπειρο.

Το άθροισμα της σειράς μπορεί να ληφθεί με τον ακόλουθο απλό τύπο, ο οποίος αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Ινδό αστρονόμο και μαθηματικό Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2α_{1 + (n-1)d]}

Το άθροισμα S_{n μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο, με βάση τον αριθμό των όρων.}

Περισσότερα για τις γεωμετρικές σειρές

Μια γεωμετρική σειρά είναι μια σειρά με σταθερό το πηλίκο των διαδοχικών αριθμών. Είναι μια σημαντική σειρά που βρέθηκε στη μελέτη της σειράς, λόγω των ιδιοτήτων που διαθέτει.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Με βάση τον λόγο r, η συμπεριφορά της σειράς μπορεί να κατηγοριοποιηθεί ως εξής. r={|r|≥1 σειρά αποκλίνει. Η σειρά r≤1 συγκλίνει}. Επίσης, εάν r<0 η σειρά ταλαντώνεται, δηλαδή η σειρά έχει εναλλασσόμενες τιμές.

Το άθροισμα των γεωμετρικών σειρών μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο. S_n =a(1-r) / (1-r); όπου a είναι ο αρχικός όρος και r ο λόγος. Εάν ο λόγος r≤1, η σειρά συγκλίνει. Για μια άπειρη σειρά, η τιμή της σύγκλισης δίνεται από το S_{n=a / (1-r).}

Η γεωμετρική σειρά έχει πολυάριθμες εφαρμογές στους τομείς των φυσικών επιστημών, της μηχανικής και της οικονομίας

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ αριθμητικής και γεωμετρικής σειράς;

• Μια αριθμητική σειρά είναι μια σειρά με σταθερή διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών όρων.

• Μια γεωμετρική σειρά είναι μια σειρά με σταθερό πηλίκο μεταξύ δύο διαδοχικών όρων.

• Όλες οι άπειρες αριθμητικές σειρές είναι πάντα αποκλίνουσες, αλλά ανάλογα με τον λόγο, η γεωμετρική σειρά μπορεί να είναι είτε συγκλίνουσα είτε αποκλίνουσα.

• Η γεωμετρική σειρά μπορεί να έχει ταλάντωση στις τιμές. Δηλαδή, οι αριθμοί αλλάζουν τα πρόσημά τους εναλλακτικά, αλλά η αριθμητική σειρά δεν μπορεί να έχει ταλαντώσεις.