Διαφορά μεταξύ της σειράς Power και της σειράς Taylor

2024 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 13:36

Power Series vs Taylor Series

Στα μαθηματικά, μια πραγματική ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα πραγματικών αριθμών. Τυπικά, είναι μια συνάρτηση από το σύνολο των φυσικών αριθμών στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Εάν ο όρος _n είναι ο n^ος όρος μιας ακολουθίας, συμβολίζουμε την ακολουθία με ή με ένα ₁, a ₂, …, a_n, …. Για παράδειγμα, θεωρήστε την ακολουθία 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Μπορεί να συμβολιστεί ως {1/n}.}

Μπορείτε να ορίσετε μια σειρά χρησιμοποιώντας ακολουθίες. Μια σειρά είναι το άθροισμα των όρων μιας ακολουθίας. Επομένως, για κάθε ακολουθία, υπάρχει μια συσχετισμένη ακολουθία και το αντίστροφο. Αν {a_{n} είναι η ακολουθία που εξετάζουμε, τότε η σειρά που σχηματίζεται από αυτήν την ακολουθία μπορεί να αναπαρασταθεί ως:}

Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, η συσχετισμένη σειρά είναι 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Όπως υποδηλώνουν τα ονόματα, η σειρά ισχύος είναι ένας ειδικός τύπος σειράς και χρησιμοποιείται ευρέως στην Αριθμητική Ανάλυση και στη σχετική μαθηματική μοντελοποίηση. Η σειρά Taylor είναι μια ειδική σειρά ισχύος που παρέχει έναν εναλλακτικό και εύκολο στη χειρισμό τρόπο αναπαράστασης γνωστών συναρτήσεων.

Τι είναι η σειρά Power;

Μια σειρά ισχύος είναι μια σειρά της μορφής

που συγκλίνει (πιθανώς) για κάποιο διάστημα με κέντρο στο c. Οι συντελεστές a_{nμπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί και είναι ανεξάρτητοι του x. δηλαδή η εικονική μεταβλητή.}

Για παράδειγμα, ορίζοντας a_n=1 για κάθε n, και c=0, τη σειρά ισχύος 1+x+x² +…..+ x^{+… λαμβάνεται. Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι όταν x ε (-1, 1), αυτή η σειρά ισχύος συγκλίνει στο 1/(1-x).}

Μια σειρά ισχύος συγκλίνει όταν x=c. Οι άλλες τιμές του x για τις οποίες συγκλίνει η σειρά ισχύος θα έχουν πάντα τη μορφή ενός ανοιχτού διαστήματος με κέντρο το c. Δηλαδή, θα υπάρχει μια τιμή 0≤ R ≤ ∞ τέτοια ώστε για κάθε x που ικανοποιεί |x-c|≤ R, η σειρά ισχύος είναι συγκλίνουσα και για κάθε x ικανοποιητική |x-c|> R, η σειρά ισχύος είναι αποκλίνουσα. Αυτή η τιμή R ονομάζεται ακτίνα σύγκλισης της σειράς ισχύος (το R μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή ή θετικό άπειρο).

Οι σειρές ισχύος μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους κανόνες. Εξετάστε τις δύο σειρές ισχύος:

Τότε,

δηλ. όπως οι όροι προστίθενται ή αφαιρούνται μαζί. Επίσης, είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση των δύο σειρών ισχύος χρησιμοποιώντας την ταυτότητα,

Τι είναι η σειρά Taylor;

Η σειρά Taylor ορίζεται για μια συνάρτηση f (x) που είναι άπειρα διαφορίσιμη σε ένα διάστημα. Ας υποθέσουμε ότι η f (x) είναι διαφορίσιμη σε ένα διάστημα με κέντρο το c. Στη συνέχεια, η σειρά ισχύος που δίνεται από

Το

ονομάζεται επέκταση της σειράς Taylor της συνάρτησης f (x) περίπου c. (Εδώ f⁽ⁿ⁾ (γ) δηλώνετε την n^{η παράγωγο στο x=c). Στην Αριθμητική Ανάλυση, ένας πεπερασμένος αριθμός όρων σε αυτήν την άπειρη επέκταση χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό τιμών σε σημεία όπου η σειρά συγκλίνει προς την αρχική συνάρτηση.}

Μια συνάρτηση f (x) λέγεται ότι είναι αναλυτική στο διάστημα (a, b), εάν για κάθε x ε (a, b), η σειρά Taylor της f (x) συγκλίνει στη συνάρτηση f (Χ). Για παράδειγμα, το 1/(1-x) είναι αναλυτικό στο (-1, 1), αφού η επέκταση Taylor 1+x+x²+….+ x ^{+… συγκλίνει στη συνάρτηση σε αυτό το διάστημα και το e}x ^{είναι αναλυτικό παντού, αφού η σειρά Taylor του e}x ^{συγκλίνει στο e} x ^{για κάθε πραγματικό αριθμό x.}

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της σειράς Power και της σειράς Taylor;

1. Η σειρά Taylor είναι μια ειδική κατηγορία σειρών ισχύος που ορίζεται μόνο για συναρτήσεις που είναι απεριόριστα διαφοροποιήσιμες σε κάποιο ανοιχτό διάστημα.

2. Η σειρά Taylor έχει την ειδική μορφή