Διαφορά μεταξύ αριθμητικής ακολουθίας και γεωμετρικής ακολουθίας

2024 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-17 23:28

Αριθμητική ακολουθία εναντίον γεωμετρικής ακολουθίας

Η μελέτη των προτύπων αριθμών και της συμπεριφοράς τους είναι μια σημαντική μελέτη στον τομέα των μαθηματικών. Συχνά αυτά τα μοτίβα μπορούν να φανούν στη φύση και μας βοηθούν να εξηγήσουμε τη συμπεριφορά τους από επιστημονική άποψη. Οι αριθμητικές ακολουθίες και οι γεωμετρικές ακολουθίες είναι δύο από τα βασικά μοτίβα που εμφανίζονται στους αριθμούς και συχνά βρίσκονται σε φυσικά φαινόμενα.

Η ακολουθία είναι ένα σύνολο διατεταγμένων αριθμών. Ο αριθμός των στοιχείων στην ακολουθία μπορεί να είναι είτε πεπερασμένος είτε άπειρος.

Περισσότερα για την Αριθμητική Ακολουθία (Αριθμητική Πρόοδος)

Μια αριθμητική ακολουθία ορίζεται ως μια ακολουθία αριθμών με σταθερή διαφορά μεταξύ κάθε διαδοχικού όρου. Είναι επίσης γνωστή ως αριθμητική πρόοδος.

Αριθμητική ακολουθία ⇒ a₁, a₂, a_3, α₄ , …, a_n; όπου a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d και ούτω καθεξής.}

Αν ο αρχικός όρος είναι a₁ και η κοινή διαφορά είναι d, τότε ο n^{ος όρος της ακολουθίας δίνεται από το;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Ακολουθώντας το παραπάνω αποτέλεσμα περαιτέρω, ο όρος n^{η μπορεί να δοθεί και ως;}

a_n =a_m + (n-m)d, όπου a_{m είναι τυχαίος όρος στην ακολουθία έτσι ώστε n > m.}

Το σύνολο των ζυγών αριθμών και το σύνολο των περιττών αριθμών είναι τα απλούστερα παραδείγματα αριθμητικών ακολουθιών, όπου κάθε ακολουθία έχει κοινή διαφορά (δ) 2.

Ο αριθμός των όρων σε μια ακολουθία μπορεί να είναι είτε άπειρος είτε πεπερασμένος. Στην άπειρη περίπτωση (n → ∞), η ακολουθία τείνει στο άπειρο ανάλογα με την κοινή διαφορά (a_{n → ±∞). Εάν η κοινή διαφορά είναι θετική (d > 0), η ακολουθία τείνει στο θετικό άπειρο και, εάν η κοινή διαφορά είναι αρνητική (d < 0), τείνει στο αρνητικό άπειρο. Εάν οι όροι είναι πεπερασμένοι, η ακολουθία είναι επίσης πεπερασμένη.}

Το άθροισμα των όρων στην αριθμητική ακολουθία είναι γνωστό ως αριθμητική σειρά: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{και S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] δίνει την τιμή του σειρά (S}n)

Περισσότερα για τη Γεωμετρική Ακολουθία (Γεωμετρική Πρόοδος)

Μια γεωμετρική ακολουθία ορίζεται ως μια ακολουθία στην οποία το πηλίκο οποιωνδήποτε δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερά. Αυτό είναι επίσης γνωστό ως γεωμετρική πρόοδος.

Γεωμετρική ακολουθία ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; όπου a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r και ούτω καθεξής, όπου r είναι πραγματικός αριθμός.}

Είναι ευκολότερο να αναπαραστήσουμε τη γεωμετρική ακολουθία χρησιμοποιώντας την κοινή αναλογία (r) και τον αρχικό όρο (a). Εξ ου και η γεωμετρική ακολουθία ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Η γενική μορφή των n^η όρων που δίνονται από a_n =a₁r ^n-1. (Χάνοντας τον δείκτη του αρχικού όρου ⇒ a_n =ar^n-1)

Η γεωμετρική ακολουθία μπορεί επίσης να είναι πεπερασμένη ή άπειρη. Εάν ο αριθμός των όρων είναι πεπερασμένος, η ακολουθία λέγεται πεπερασμένη. Και αν οι όροι είναι άπειροι, η ακολουθία μπορεί να είναι είτε άπειρη είτε πεπερασμένη ανάλογα με τον λόγο r. Η κοινή αναλογία επηρεάζει πολλές από τις ιδιότητες σε γεωμετρικές ακολουθίες.

r > o	0 < r < +1	Η ακολουθία συγκλίνει – εκθετική διάσπαση, δηλ. an → 0, n → ∞
	r=1	Σταθερή ακολουθία, δηλ. an=σταθερά
	r > 1	Η ακολουθία αποκλίνει – εκθετική ανάπτυξη, δηλ. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Η ακολουθία είναι ταλαντούμενη, αλλά συγκλίνει
	r=1	Η ακολουθία είναι εναλλασσόμενη και σταθερή, δηλ. an=±σταθερά
	r < -1	Η ακολουθία είναι εναλλασσόμενη και αποκλίνει. δηλ. an → ±∞, n → ∞
r=0	Η ακολουθία είναι μια συμβολοσειρά μηδενικών

Σημείωση: Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, a₁ > 0; εάν a₁ < 0, τα σημάδια που σχετίζονται με ένα_{n θα αντιστραφούν.}

Το χρονικό διάστημα μεταξύ των αναπηδήσεων μιας μπάλας ακολουθεί μια γεωμετρική ακολουθία στο ιδανικό μοντέλο και είναι μια συγκλίνουσα ακολουθία.

Το άθροισμα των όρων της γεωμετρικής ακολουθίας είναι γνωστό ως γεωμετρική σειρά. S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Το άθροισμα της γεωμετρικής σειράς μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); όπου a είναι ο αρχικός όρος και r ο λόγος.}

Αν ο λόγος, r ≤ 1, η σειρά συγκλίνει. Για μια άπειρη σειρά, η τιμή της σύγκλισης δίνεται από το S_n=a/(1-r)

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Αριθμητικής και Γεωμετρικής Ακολουθίας/Προόδου;

• Σε μια αριθμητική ακολουθία, οποιοιδήποτε δύο διαδοχικοί όροι έχουν κοινή διαφορά (δ) ενώ, στη γεωμετρική ακολουθία, οποιοιδήποτε δύο διαδοχικοί όροι έχουν σταθερό πηλίκο (r).

• Σε μια αριθμητική ακολουθία, η παραλλαγή των όρων είναι γραμμική, δηλαδή μπορεί να τραβηχτεί μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από όλα τα σημεία. Σε μια γεωμετρική σειρά, η διακύμανση είναι εκθετική. είτε αυξάνεται είτε αποσυντίθεται με βάση την κοινή αναλογία.

• Όλες οι άπειρες αριθμητικές ακολουθίες είναι αποκλίνουσες, ενώ οι άπειρες γεωμετρικές σειρές μπορεί να είναι είτε αποκλίνουσες είτε συγκλίνουσες.

• Η γεωμετρική σειρά μπορεί να δείχνει ταλάντωση εάν ο λόγος r είναι αρνητικός ενώ η αριθμητική σειρά δεν εμφανίζει ταλάντωση