Parabola vs Hyperbola
Ο Κέπλερ περιέγραψε τις τροχιές των πλανητών ως ελλείψεις που τροποποιήθηκαν αργότερα από τον Νεύτωνα καθώς έδειξε ότι αυτές οι τροχιές είναι ειδικές κωνικές τομές όπως η παραβολή και η υπερβολή. Υπάρχουν πολλές ομοιότητες μεταξύ μιας παραβολής και μιας υπερβολής, αλλά υπάρχουν και διαφορές καθώς υπάρχουν διαφορετικές εξισώσεις για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων που αφορούν αυτές τις κωνικές τομές. Για να κατανοήσουμε καλύτερα τις διαφορές μεταξύ παραβολής και υπερβολής, πρέπει να κατανοήσουμε αυτές τις κωνικές τομές.
Ένα τμήμα είναι μια επιφάνεια ή το περίγραμμα αυτής της επιφάνειας που σχηματίζεται με την κοπή μιας συμπαγούς φιγούρας με ένα επίπεδο. Εάν το συμπαγές σχήμα τυχαίνει να είναι κώνος, η καμπύλη που προκύπτει ονομάζεται κωνική τομή. Το είδος και το σχήμα της κωνικής τομής καθορίζεται από τη γωνία τομής του επιπέδου και του άξονα του κώνου. Όταν ο κώνος κόβεται κάθετα προς τον άξονα, παίρνουμε κυκλικό σχήμα. Όταν κόβεται σε μικρότερη από ορθή γωνία αλλά μεγαλύτερη από τη γωνία που δημιουργείται από την πλευρά του κώνου οδηγεί σε έλλειψη. Όταν κόβεται παράλληλα προς την πλευρά του κώνου, η καμπύλη που προκύπτει είναι παραβολή και όταν κόβεται σχεδόν παράλληλα με τον άξονα που είναι προς την πλευρά, έχουμε μια καμπύλη γνωστή ως υπερβολή. Όπως μπορείτε να δείτε από τα σχήματα, οι κύκλοι και οι ελλείψεις είναι κλειστές καμπύλες ενώ οι παραβολές και οι υπερβολές είναι ανοιχτές καμπύλες. Στην περίπτωση μιας παραβολής, οι δύο βραχίονες γίνονται τελικά παράλληλοι μεταξύ τους, ενώ στην περίπτωση μιας υπερβολής δεν είναι έτσι.
Δεδομένου ότι οι κύκλοι και οι παραβολές σχηματίζονται με την κοπή ενός κώνου σε συγκεκριμένες γωνίες, όλοι οι κύκλοι έχουν το ίδιο σχήμα και όλες οι παραβολές έχουν το ίδιο σχήμα. Στην περίπτωση των υπερβολών και των ελλείψεων υπάρχει μεγάλο εύρος γωνιών μεταξύ του επιπέδου και του άξονα, γι' αυτό τείνουν να έχουν μεγάλο εύρος σχημάτων. Οι εξισώσεις των τεσσάρων τύπων κωνικών τομών είναι οι εξής.
Circle- x2+y2=1
Ellipse- x2/a2+ y2/β2=1
Parabola- y2=4ax
Υπερβολα- x2/a2– y2/β2=1
