Hyperbola vs Ellipse
Όταν ένας κώνος κόβεται σε διαφορετικές γωνίες, διαφορετικές καμπύλες σημειώνονται από την άκρη του κώνου. Αυτές οι καμπύλες ονομάζονται συχνά κωνικές τομές. Πιο συγκεκριμένα, μια κωνική τομή είναι μια καμπύλη που προκύπτει από τομή μιας ορθής κυκλικής κωνικής επιφάνειας με μια επίπεδη επιφάνεια. Σε διαφορετικές γωνίες τομής, δίνονται διαφορετικές κωνικές τομές.
Τόσο η υπερβολή όσο και η έλλειψη είναι κωνικές τομές και οι διαφορές τους συγκρίνονται εύκολα σε αυτό το πλαίσιο.
Περισσότερα για το Ellipse
Όταν η τομή της κωνικής επιφάνειας και της επίπεδης επιφάνειας παράγει μια κλειστή καμπύλη, είναι γνωστή ως έλλειψη. Έχει εκκεντρότητα μεταξύ μηδέν και ενός (0<e<1). Μπορεί επίσης να οριστεί ως ο τόπος του συνόλου των σημείων σε ένα επίπεδο έτσι ώστε το άθροισμα των αποστάσεων στο σημείο από δύο σταθερά σημεία να παραμένει σταθερό. Αυτά τα δύο σταθερά σημεία είναι γνωστά ως «εστίες». (Θυμηθείτε, στα μαθηματικά του στοιχειώδους μαθήματος οι ελλείψεις σχεδιάζονται χρησιμοποιώντας ένα κορδόνι δεμένο σε δύο σταθερές ακίδες ή έναν βρόχο συμβολοσειράς και δύο καρφίτσες.)
Το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από τις εστίες είναι γνωστό ως ο κύριος άξονας και ο άξονας που είναι κάθετος στον κύριο άξονα και διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης είναι γνωστός ως δευτερεύων άξονας. Οι διάμετροι κατά μήκος κάθε άξονα είναι γνωστές ως εγκάρσια διάμετρος και διάμετρος συζυγούς αντίστοιχα. Ο μισός του κύριου άξονα είναι γνωστός ως ημι-κύριος άξονας και ο μισός του δευτερεύοντος άξονας είναι γνωστός ως ο ημι-μικρός άξονας.
Κάθε σημείο F1 και F2 είναι γνωστά ως εστίες της έλλειψης και μήκη F1 + PF2 =2a, όπου το P είναι ένα αυθαίρετο σημείο στην έλλειψη. Η εκκεντρότητα e ορίζεται ως ο λόγος μεταξύ της απόστασης από μια εστίαση στο αυθαίρετο σημείο (PF 2) και της κάθετης απόστασης προς το αυθαίρετο σημείο από την ευθεία (PD). Είναι επίσης ίση με την απόσταση μεταξύ των δύο εστιών και του ημι-κύριου άξονα: e=PF/PD=f/a
Η γενική εξίσωση της έλλειψης, όταν ο ημι-κύριος άξονας και ο ημι-μικρός άξονας συμπίπτουν με τους καρτεσιανούς άξονες, δίνεται ως εξής.
x2/a2 + y2/β2=1
Η γεωμετρία της έλλειψης έχει πολλές εφαρμογές, ειδικά στη φυσική. Οι τροχιές των πλανητών στο ηλιακό σύστημα είναι ελλειπτικές με τον ήλιο ως μία εστία. Οι ανακλαστήρες για τις κεραίες και τις ακουστικές συσκευές είναι κατασκευασμένοι σε ελλειπτικό σχήμα για να εκμεταλλεύονται το γεγονός ότι οποιαδήποτε εκπομπή από μια εστία θα συγκλίνει στην άλλη εστία.
Περισσότερα για την Υπέρβολα
Η υπερβολή είναι επίσης μια κωνική τομή, αλλά έχει ανοιχτό άκρο. Ο όρος υπερβολή αναφέρεται στις δύο αποσυνδεδεμένες καμπύλες που φαίνονται στο σχήμα. Αντί να κλείνουν σαν έλλειψη, οι βραχίονες ή οι κλάδοι της υπερβολής συνεχίζουν στο άπειρο.
Τα σημεία όπου οι δύο κλάδοι έχουν τη μικρότερη απόσταση μεταξύ τους είναι γνωστά ως κορυφές. Η ευθεία που διέρχεται από τις κορυφές θεωρείται ως ο κύριος άξονας ή ο εγκάρσιος άξονας και είναι ένας από τους κύριους άξονες της υπερβολής. Οι δύο εστίες της παραβολής βρίσκονται επίσης στον κύριο άξονα. Το μέσο της ευθείας μεταξύ των δύο κορυφών είναι το κέντρο και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος είναι ο ημι-κύριος άξονας. Η κάθετη διχοτόμος του ημι-κύριου άξονα είναι ο άλλος κύριος άξονας και οι δύο καμπύλες της υπερβολής είναι συμμετρικές γύρω από αυτόν τον άξονα. Η εκκεντρότητα της παραβολής είναι μεγαλύτερη από μία. e > 1.
Αν οι κύριοι άξονες συμπίπτουν με τους καρτεσιανούς άξονες, η γενική εξίσωση της υπερβολής έχει τη μορφή:
x2/a2 – y2/β2=1,
όπου a είναι ο ημι-κύριος άξονας και b είναι η απόσταση από το κέντρο σε οποιαδήποτε εστία.
Οι υπερβολές με ανοιχτά άκρα προς τον άξονα x είναι γνωστές ως υπερβολές ανατολής-δύσης. Παρόμοιες υπερβολές μπορούν να ληφθούν και στον άξονα y. Αυτά είναι γνωστά ως υπερβολές του άξονα y. Η εξίσωση για τέτοιες υπερβολές έχει τη μορφή
y2/a2 – x2/β2=1
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Υπερβολής και Έλειψης;
• Και οι δύο ελλείψεις και η υπερβολή είναι κωνικές τομές, αλλά η έλλειψη είναι μια κλειστή καμπύλη ενώ η υπερβολή αποτελείται από δύο ανοιχτές καμπύλες.
• Επομένως, η έλλειψη έχει πεπερασμένη περίμετρο, αλλά η υπερβολή έχει άπειρο μήκος.
• Και τα δύο είναι συμμετρικά γύρω από τον κύριο και τον δευτερεύοντα άξονά τους, αλλά η θέση του προσανατολισμού είναι διαφορετική σε κάθε περίπτωση. Στην έλλειψη, βρίσκεται έξω από τον ημι-κύριο άξονα, ενώ, στην υπερβολή, βρίσκεται στον ημι-κύριο άξονα.
• Οι εκκεντρότητες των δύο κωνικών τμημάτων είναι διαφορετικές.
0 <eEllipse < 1
eΥπερβολή > 0
• Η γενική εξίσωση των δύο καμπυλών φαίνεται ίδια, αλλά είναι διαφορετικές.
• Η κάθετη διχοτόμος του κύριου άξονα τέμνει την καμπύλη στην έλλειψη, αλλά όχι στην υπερβολή.
(Πηγή εικόνων: Wikipedia)
