Παραλληλόγραμμο εναντίον Ρόμβου
Το παραλληλόγραμμο και ο ρόμβος είναι τετράπλευρα. Η γεωμετρία αυτών των μορφών ήταν γνωστή στον άνθρωπο για χιλιάδες χρόνια. Το θέμα αντιμετωπίζεται ρητά στο βιβλίο «Στοιχεία» που έγραψε ο Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης.
Παραλληλόγραμμο
Το Παραλληλόγραμμο μπορεί να οριστεί ως το γεωμετρικό σχήμα με τέσσερις πλευρές, με αντίθετες πλευρές παράλληλες μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα είναι τετράπλευρο με δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών. Αυτή η παράλληλη φύση δίνει πολλά γεωμετρικά χαρακτηριστικά στα παραλληλόγραμμα.
Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο εάν βρεθούν τα ακόλουθα γεωμετρικά χαρακτηριστικά.
• Δύο ζεύγη αντιτιθέμενων πλευρών είναι ίσα σε μήκος. (AB=DC, AD=BC)
• Δύο ζεύγη αντιτιθέμενων γωνιών είναι ίσα σε μέγεθος. ([latex]D\καπέλο{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Εάν οι διπλανές γωνίες είναι συμπληρωματικές [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Ένα ζευγάρι πλευρών, που είναι αντίθετες μεταξύ τους, είναι παράλληλο και ίσο σε μήκος. (AB=DC & AB∥DC)
• Οι διαγώνιοι διχοτομούνται μεταξύ τους (AO=OC, BO=OD)
• Κάθε διαγώνιος χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο ίσα τρίγωνα. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Επιπλέον, το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων. Αυτό μερικές φορές αναφέρεται ως ο νόμος του παραλληλογράμμου και έχει ευρέως διαδεδομένες εφαρμογές στη φυσική και τη μηχανική. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Κάθε ένα από τα παραπάνω χαρακτηριστικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ιδιότητες, αφού διαπιστωθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου μπορεί να υπολογιστεί από το γινόμενο του μήκους μιας πλευράς και του ύψους προς την αντίθετη πλευρά. Επομένως, το εμβαδόν του παραλληλογράμμου μπορεί να δηλωθεί ως
Εμβαδόν παραλληλογράμμου=βάση × ύψος=AB×h
Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι ανεξάρτητο από το σχήμα του μεμονωμένου παραλληλογράμμου. Εξαρτάται μόνο από το μήκος της βάσης και το κάθετο ύψος.
Αν οι πλευρές ενός παραλληλογράμμου μπορούν να παρασταθούν με δύο διανύσματα, το εμβαδόν μπορεί να ληφθεί από το μέγεθος του διανυσματικού γινόμενου (διασταυρούμενο γινόμενο) των δύο γειτονικών διανυσμάτων.
Αν οι πλευρές AB και AD αντιπροσωπεύονται από τα διανύσματα ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) και ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) αντίστοιχα, το εμβαδόν του Το παραλληλόγραμμο δίνεται από το [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], όπου α είναι η γωνία μεταξύ [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] και [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Ακολουθούν ορισμένες προηγμένες ιδιότητες του παραλληλογράμμου;
• Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο από το εμβαδόν ενός τριγώνου που δημιουργείται από οποιαδήποτε από τις διαγώνιές του.
• Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου διαιρείται στο μισό με οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το μέσο.
• Οποιοσδήποτε μη εκφυλισμένος συγγενικός μετασχηματισμός οδηγεί ένα παραλληλόγραμμο σε ένα άλλο παραλληλόγραμμο
• Ένα παραλληλόγραμμο έχει περιστροφική συμμετρία τάξης 2
• Το άθροισμα των αποστάσεων από οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο ενός παραλληλογράμμου στις πλευρές είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου
Ρόμβος
Ένα τετράπλευρο με όλες τις πλευρές ίσες σε μήκος είναι γνωστό ως ρόμβος. Ονομάζεται και ως ισόπλευρο τετράπλευρο. Θεωρείται ότι έχει σχήμα διαμαντιού, παρόμοιο με αυτό στα τραπουλόχαρτα.
Ο Ρόμβος είναι επίσης μια ειδική περίπτωση του παραλληλογράμμου. Μπορεί να θεωρηθεί ως παραλληλόγραμμο με ίσες και τις τέσσερις πλευρές του. Και έχει τις ακόλουθες ειδικές ιδιότητες, εκτός από τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου.
• Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν η μία την άλλη σε ορθή γωνία. οι διαγώνιοι είναι κάθετες.
• Οι διαγώνιοι διχοτομούν τις δύο αντίθετες εσωτερικές γωνίες.
• Τουλάχιστον δύο από τις διπλανές πλευρές είναι ίσες σε μήκος.
Το εμβαδόν του ρόμβου μπορεί να υπολογιστεί με την ίδια μέθοδο όπως το παραλληλόγραμμο.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ παραλληλογράμμου και ρόμβου;
• Το παραλληλόγραμμο και ο ρόμβος είναι τετράπλευρα. Ο ρόμβος είναι μια ειδική περίπτωση των παραλληλογραμμών.
• Το εμβαδόν οποιουδήποτε μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο βάσης ×ύψος.
• Λαμβάνοντας υπόψη τις διαγώνιες;
– Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούν η μία την άλλη και διχοτομούν το παραλληλόγραμμο για να σχηματίσουν δύο ίσα τρίγωνα.
– Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν η μία την άλλη σε ορθή γωνία και τα τρίγωνα που σχηματίζονται είναι ισόπλευρα.
• Λαμβάνοντας υπόψη τις εσωτερικές γωνίες;
– Οι αντίθετες εσωτερικές γωνίες του παραλληλογράμμου είναι ίσες σε μέγεθος. Δύο γειτονικές εσωτερικές γωνίες είναι συμπληρωματικές.
– Οι εσωτερικές γωνίες του ρόμβου διχοτομούνται από τις διαγώνιους.
• Λαμβάνοντας υπόψη τις πλευρές;
– Σε ένα παραλληλόγραμμο, το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων της διαγώνιου (νόμος του παραλληλογράμμου).
– Καθώς και οι τέσσερις πλευρές είναι ίσες σε έναν ρόμβο, τέσσερις φορές το τετράγωνο μιας πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων της διαγωνίου.
