Διαφορά μεταξύ παραλληλογράμμου και τετράπλευρου

2024 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 13:36

Παραλληλόγραμμο vs Τετράπλευρο

Τα τετράπλευρα και τα παραλληλόγραμμα είναι πολύγωνα που βρίσκονται στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Το παραλληλόγραμμο είναι μια ειδική περίπτωση του τετράπλευρου. Τα τετράπλευρα μπορούν να είναι είτε επίπεδα (2Δ) είτε τρισδιάστατα ενώ τα παραλληλόγραμμα είναι πάντα επίπεδα.

Τετράπλευρο

Το τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο με τέσσερις πλευρές. Έχει τέσσερις κορυφές και το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 3600 (2π rad). Τα τετράπλευρα ταξινομούνται σε κατηγορίες αυτοτεμνόμενων και απλών τετράπλευρων. Τα αυτοτεμνόμενα τετράπλευρα έχουν δύο ή περισσότερες πλευρές που διασταυρώνονται μεταξύ τους και μικρότερα γεωμετρικά σχήματα (όπως τρίγωνα σχηματίζονται μέσα στο τετράπλευρο).

Τα απλά τετράπλευρα χωρίζονται επίσης σε κυρτά και κοίλα τετράπλευρα. Τα κοίλα τετράπλευρα έχουν γειτονικές πλευρές που σχηματίζουν αντανακλαστικές γωνίες μέσα στο σχήμα. Τα απλά τετράπλευρα που δεν έχουν αντανακλαστικές γωνίες εσωτερικά είναι κυρτά τετράπλευρα. Τα κυρτά τετράπλευρα μπορούν πάντα να έχουν ψηφίδες.

Ένα σημαντικό μέρος της γεωμετρίας των τετράπλευρων στα αρχικά επίπεδα αφορά τα κυρτά τετράπλευρα. Κάποια τετράπλευρα μας είναι πολύ γνωστά από την εποχή των δημοτικών σχολείων. Ακολουθεί ένα διάγραμμα που δείχνει διαφορετικά κυρτά τετράπλευρα.

Παραλληλόγραμμο

Το Παραλληλόγραμμο μπορεί να οριστεί ως το γεωμετρικό σχήμα με τέσσερις πλευρές, με αντίθετες πλευρές παράλληλες μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα είναι τετράπλευρο με δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών. Αυτή η παράλληλη φύση δίνει πολλά γεωμετρικά χαρακτηριστικά στα παραλληλόγραμμα.

Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο εάν βρεθούν τα ακόλουθα γεωμετρικά χαρακτηριστικά.

• Δύο ζεύγη αντιτιθέμενων πλευρών είναι ίσα σε μήκος. (AB=DC, AD=BC)

• Δύο ζεύγη αντιτιθέμενων γωνιών είναι ίσα σε μέγεθος. ([latex]D\καπέλο{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])

• Εάν οι διπλανές γωνίες είναι συμπληρωματικές [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]

• Ένα ζευγάρι πλευρών, που είναι αντίθετες μεταξύ τους, είναι παράλληλο και ίσο σε μήκος. (AB=DC & AB∥DC)

• Οι διαγώνιοι διχοτομούνται μεταξύ τους (AO=OC, BO=OD)

• Κάθε διαγώνιος χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο ίσα τρίγωνα. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)

Επιπλέον, το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων. Αυτό μερικές φορές αναφέρεται ως ο νόμος του παραλληλογράμμου και έχει ευρέως διαδεδομένες εφαρμογές στη φυσική και τη μηχανική. (AB² + BC² + CD² + DA^2=AC2 ^{+ BD}2⁾

Κάθε ένα από τα παραπάνω χαρακτηριστικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ιδιότητες, αφού διαπιστωθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου μπορεί να υπολογιστεί από το γινόμενο του μήκους μιας πλευράς και του ύψους προς την αντίθετη πλευρά. Επομένως, το εμβαδόν του παραλληλογράμμου μπορεί να δηλωθεί ως

Εμβαδόν παραλληλογράμμου=βάση × ύψος=AB×h

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι ανεξάρτητο από το σχήμα του μεμονωμένου παραλληλογράμμου. Εξαρτάται μόνο από το μήκος της βάσης και το κάθετο ύψος.

Αν οι πλευρές ενός παραλληλογράμμου μπορούν να παρασταθούν με δύο διανύσματα, το εμβαδόν μπορεί να ληφθεί από το μέγεθος του διανυσματικού γινόμενου (διασταυρούμενο γινόμενο) των δύο γειτονικών διανυσμάτων.

Αν οι πλευρές AB και AD αντιπροσωπεύονται από τα διανύσματα ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) και ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) αντίστοιχα, το εμβαδόν του το παραλληλόγραμμο δίνεται από το [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], όπου α είναι η γωνία μεταξύ [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] και [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].

Ακολουθούν ορισμένες προηγμένες ιδιότητες του παραλληλογράμμου;

• Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο από το εμβαδόν ενός τριγώνου που δημιουργείται από οποιαδήποτε από τις διαγώνιές του.

• Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου διαιρείται στο μισό με οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το μέσο.

• Οποιοσδήποτε μη εκφυλισμένος συγγενικός μετασχηματισμός οδηγεί ένα παραλληλόγραμμο σε ένα άλλο παραλληλόγραμμο

• Ένα παραλληλόγραμμο έχει περιστροφική συμμετρία τάξης 2

• Το άθροισμα των αποστάσεων από οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο ενός παραλληλογράμμου στις πλευρές είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Παραλληλογράμμου και Τετράπλευρου;

• Τα τετράπλευρα είναι πολύγωνα με τέσσερις πλευρές (μερικές φορές ονομάζονται τετράγωνα) ενώ το παραλληλόγραμμο είναι ένας ειδικός τύπος τετράπλευρου.

• Τα τετράπλευρα μπορούν να έχουν τις πλευρές τους σε διαφορετικά επίπεδα (σε τρισδιάστατο χώρο) ενώ όλες οι πλευρές του παραλληλογράμμου βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (επίπεδο/2διάστατο).

• Οι εσωτερικές γωνίες του τετράπλευρου μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή (συμπεριλαμβανομένων των αντανακλαστικών γωνιών) έτσι ώστε να αθροίζονται έως και 3600. Τα παραλληλόγραμμα μπορούν να έχουν μόνο αμβλείες γωνίες ως μέγιστο τύπο γωνίας.

• Τέσσερις πλευρές του τετράπλευρου μπορεί να έχουν διαφορετικά μήκη ενώ οι απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι πάντα παράλληλες μεταξύ τους και ίσες σε μήκος.

• Οποιαδήποτε διαγώνιος διαιρεί το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα τρίγωνα, ενώ τα τρίγωνα που σχηματίζονται από τη διαγώνιο ενός γενικού τετράπλευρου δεν είναι απαραίτητα ίσα.