Παραλληλόγραμμο vs Ορθογώνιο
Το παραλληλόγραμμο και το παραλληλόγραμμο είναι τετράπλευρα. Η γεωμετρία αυτών των μορφών ήταν γνωστή στον άνθρωπο για χιλιάδες χρόνια. Το θέμα αντιμετωπίζεται ρητά στο βιβλίο «Στοιχεία» που έγραψε ο Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης.
Παραλληλόγραμμο
Το Παραλληλόγραμμο μπορεί να οριστεί ως το γεωμετρικό σχήμα με τέσσερις πλευρές, με αντίθετες πλευρές παράλληλες μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα είναι τετράπλευρο με δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών. Αυτή η παράλληλη φύση δίνει πολλά γεωμετρικά χαρακτηριστικά στα παραλληλόγραμμα.
Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο εάν βρεθούν τα ακόλουθα γεωμετρικά χαρακτηριστικά.
• Δύο ζεύγη αντιτιθέμενων πλευρών είναι ίσα σε μήκος. (AB=DC, AD=BC)
• Δύο ζεύγη αντιτιθέμενων γωνιών είναι ίσα σε μέγεθος. ([latex]D\καπέλο{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Εάν οι διπλανές γωνίες είναι συμπληρωματικές [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Ένα ζευγάρι πλευρών, που είναι αντίθετες μεταξύ τους, είναι παράλληλο και ίσο σε μήκος. (AB=DC & AB∥DC)
• Οι διαγώνιοι διχοτομούνται μεταξύ τους (AO=OC, BO=OD)
• Κάθε διαγώνιος χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο ίσα τρίγωνα. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Επιπλέον, το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων. Αυτό μερικές φορές αναφέρεται ως ο νόμος του παραλληλογράμμου και έχει ευρέως διαδεδομένες εφαρμογές στη φυσική και τη μηχανική. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Κάθε ένα από τα παραπάνω χαρακτηριστικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ιδιότητες, αφού διαπιστωθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου μπορεί να υπολογιστεί από το γινόμενο του μήκους μιας πλευράς και του ύψους προς την αντίθετη πλευρά. Επομένως, το εμβαδόν του παραλληλογράμμου μπορεί να δηλωθεί ως
Εμβαδόν παραλληλογράμμου=βάση × ύψος=AB×h
Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι ανεξάρτητο από το σχήμα του μεμονωμένου παραλληλογράμμου. Εξαρτάται μόνο από το μήκος της βάσης και το κάθετο ύψος.
Αν οι πλευρές ενός παραλληλογράμμου μπορούν να παρασταθούν με δύο διανύσματα, το εμβαδόν μπορεί να ληφθεί από το μέγεθος του διανυσματικού γινόμενου (διασταυρούμενο γινόμενο) των δύο γειτονικών διανυσμάτων.
Αν οι πλευρές AB και AD αντιπροσωπεύονται από τα διανύσματα ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) και ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) αντίστοιχα, το εμβαδόν του το παραλληλόγραμμο δίνεται από το [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], όπου α είναι η γωνία μεταξύ [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] και [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Ακολουθούν ορισμένες προηγμένες ιδιότητες του παραλληλογράμμου;
• Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο από το εμβαδόν ενός τριγώνου που δημιουργείται από οποιαδήποτε από τις διαγώνιές του.
• Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου διαιρείται στο μισό με οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το μέσο.
• Οποιοσδήποτε μη εκφυλισμένος συγγενικός μετασχηματισμός οδηγεί ένα παραλληλόγραμμο σε ένα άλλο παραλληλόγραμμο
• Ένα παραλληλόγραμμο έχει περιστροφική συμμετρία τάξης 2
• Το άθροισμα των αποστάσεων από οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο ενός παραλληλογράμμου στις πλευρές είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου
Ορθογώνιο
Ένα τετράπλευρο με τέσσερις ορθές γωνίες είναι γνωστό ως ορθογώνιο. Είναι μια ειδική περίπτωση του παραλληλογράμμου όπου οι γωνίες μεταξύ οποιωνδήποτε δύο παρακείμενων πλευρών είναι ορθές.
Εκτός από όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου, μπορούν να αναγνωριστούν πρόσθετα χαρακτηριστικά κατά την εξέταση της γεωμετρίας του ορθογωνίου.
• Κάθε γωνία στις κορυφές είναι ορθή.
• Οι διαγώνιοι είναι ίσες σε μήκος και διχοτομούν η μία την άλλη. Επομένως, τα διχοτομημένα τμήματα είναι επίσης ίσα σε μήκος.
• Το μήκος των διαγωνίων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Πυθαγόρα:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Ο τύπος εμβαδού μειώνεται στο γινόμενο του μήκους και του πλάτους.
Εμβαδόν ορθογωνίου=μήκος × πλάτος
• Πολλές συμμετρικές ιδιότητες βρίσκονται σε ένα ορθογώνιο, όπως;
– Ένα ορθογώνιο είναι κυκλικό, όπου όλες οι κορυφές μπορούν να τοποθετηθούν στην περίμετρο ενός κύκλου.
– Είναι ισόγωνο, όπου όλες οι γωνίες είναι ίσες.
– Είναι ισογωνικό, όπου όλες οι γωνίες βρίσκονται εντός της ίδιας τροχιάς συμμετρίας.
– Έχει τόσο ανακλαστική συμμετρία όσο και περιστροφική συμμετρία.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ παραλληλογράμμου και ορθογωνίου;
• Το παραλληλόγραμμο και το παραλληλόγραμμο είναι τετράπλευρα. Το ορθογώνιο είναι μια ειδική περίπτωση των παραλληλογραμμών.
• Το εμβαδόν οποιουδήποτε μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο βάσης ×ύψος.
• Λαμβάνοντας υπόψη τις διαγώνιες;
– Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούν η μία την άλλη και διχοτομούν το παραλληλόγραμμο για να σχηματίσουν δύο ίσα τρίγωνα.
– Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες σε μήκος και διχοτομούνται μεταξύ τους. τα διχοτομημένα τμήματα είναι ίσα σε μήκος. Οι διαγώνιοι διχοτομούν το ορθογώνιο σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα.
• Λαμβάνοντας υπόψη τις εσωτερικές γωνίες;
– Οι αντίθετες εσωτερικές γωνίες του παραλληλογράμμου είναι ίσες σε μέγεθος. Δύο γειτονικές εσωτερικές γωνίες είναι συμπληρωματικές
– Και οι τέσσερις εσωτερικές γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές.
• Λαμβάνοντας υπόψη τις πλευρές;
– Σε ένα παραλληλόγραμμο, το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων της διαγώνιου (νόμος του παραλληλογράμμου)
– Στα ορθογώνια, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο διπλανών πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της διαγώνιας στα άκρα. (Κανόνας του Πυθαγόρα)
