Παραλληλόγραμμο εναντίον τραπεζοειδούς
Το παραλληλόγραμμο και το τραπεζοειδές (ή το τραπέζιο) είναι δύο κυρτά τετράπλευρα. Παρόλο που πρόκειται για τετράγωνα, η γεωμετρία του τραπεζίου διαφέρει σημαντικά από τα παραλληλόγραμμα.
Παραλληλόγραμμο
Το Παραλληλόγραμμο μπορεί να οριστεί ως το γεωμετρικό σχήμα με τέσσερις πλευρές, με αντίθετες πλευρές παράλληλες μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα είναι τετράπλευρο με δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών. Αυτή η παράλληλη φύση δίνει πολλά γεωμετρικά χαρακτηριστικά στα παραλληλόγραμμα.
Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο εάν βρεθούν τα ακόλουθα γεωμετρικά χαρακτηριστικά.
• Δύο ζεύγη αντιτιθέμενων πλευρών είναι ίσα σε μήκος. (AB=DC, AD=BC)
• Δύο ζεύγη αντιτιθέμενων γωνιών είναι ίσα σε μέγεθος. ([latex]D\καπέλο{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Εάν οι διπλανές γωνίες είναι συμπληρωματικές [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Ένα ζευγάρι πλευρών, που είναι αντίθετες μεταξύ τους, είναι παράλληλο και ίσο σε μήκος. (AB=DC & AB∥DC)
• Οι διαγώνιοι διχοτομούνται μεταξύ τους (AO=OC, BO=OD)
• Κάθε διαγώνιος χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο ίσα τρίγωνα. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Επιπλέον, το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων. Αυτό μερικές φορές αναφέρεται ως ο νόμος του παραλληλογράμμου και έχει ευρέως διαδεδομένες εφαρμογές στη φυσική και τη μηχανική. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Κάθε ένα από τα παραπάνω χαρακτηριστικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ιδιότητες, αφού διαπιστωθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου μπορεί να υπολογιστεί από το γινόμενο του μήκους μιας πλευράς και του ύψους προς την αντίθετη πλευρά. Επομένως, το εμβαδόν του παραλληλογράμμου μπορεί να δηλωθεί ως
Εμβαδόν παραλληλογράμμου=βάση × ύψος=AB×h
Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι ανεξάρτητο από το σχήμα του μεμονωμένου παραλληλογράμμου. Εξαρτάται μόνο από το μήκος της βάσης και το κάθετο ύψος.
Αν οι πλευρές ενός παραλληλογράμμου μπορούν να παρασταθούν με δύο διανύσματα, το εμβαδόν μπορεί να ληφθεί από το μέγεθος του διανυσματικού γινόμενου (διασταυρούμενο γινόμενο) των δύο γειτονικών διανυσμάτων.
Αν οι πλευρές AB και AD αντιπροσωπεύονται από τα διανύσματα ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) και ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) αντίστοιχα, το εμβαδόν του Το παραλληλόγραμμο δίνεται από το [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], όπου α είναι η γωνία μεταξύ [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] και [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Ακολουθούν ορισμένες προηγμένες ιδιότητες του παραλληλογράμμου;
• Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο από το εμβαδόν ενός τριγώνου που δημιουργείται από οποιαδήποτε από τις διαγώνιές του.
• Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου διαιρείται στο μισό με οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το μέσο.
• Οποιοσδήποτε μη εκφυλισμένος συγγενικός μετασχηματισμός οδηγεί ένα παραλληλόγραμμο σε ένα άλλο παραλληλόγραμμο
• Ένα παραλληλόγραμμο έχει περιστροφική συμμετρία τάξης 2
• Το άθροισμα των αποστάσεων από οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο ενός παραλληλογράμμου στις πλευρές είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου
Τραπεζοειδής
Το Τραπέιο (ή Trapezium στα βρετανικά αγγλικά) είναι ένα κυρτό τετράπλευρο όπου τουλάχιστον δύο πλευρές είναι παράλληλες και άνισες σε μήκος. Οι παράλληλες πλευρές του τραπεζοειδούς είναι γνωστές ως βάσεις και οι άλλες δύο πλευρές ονομάζονται πόδια.
Ακολουθούν τα κύρια χαρακτηριστικά των τραπεζοειδών;
• Εάν οι διπλανές γωνίες δεν βρίσκονται στην ίδια βάση του τραπεζοειδούς, είναι συμπληρωματικές γωνίες. δηλαδή προσθέτουν έως 180° ([latex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/λάτεξ])
• Και οι δύο διαγώνιοι ενός τραπεζίου τέμνονται με τον ίδιο λόγο (ο λόγος μεταξύ του τμήματος των διαγωνίων είναι ίσος).
• Εάν τα a και b είναι βάσεις και τα c, d είναι σκέλη, τα μήκη των διαγωνίων δίνονται με
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
και
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
Η περιοχή του τραπεζοειδούς μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο
Εμβαδόν τραπεζοειδούς=[latex]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ παραλληλογράμμου και τραπεζοειδούς (τραπεζίου);
• Τόσο το παραλληλόγραμμο όσο και το τραπεζοειδές είναι κυρτά τετράπλευρα.
• Σε ένα παραλληλόγραμμο, και τα δύο ζεύγη των απέναντι πλευρών είναι παράλληλα, ενώ, σε ένα τραπέζιο, μόνο ένα ζεύγος είναι παράλληλο.
• Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται μεταξύ τους (αναλογία 1:1) ενώ οι διαγώνιοι του τραπεζοειδούς τέμνονται με σταθερή αναλογία μεταξύ των τμημάτων.
• Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου εξαρτάται από το ύψος και τη βάση ενώ το εμβαδόν του τραπεζοειδούς εξαρτάται από το ύψος και το μεσαίο τμήμα.
• Τα δύο τρίγωνα που σχηματίζονται από μια διαγώνιο σε ένα παραλληλόγραμμο είναι πάντα ίσα ενώ τα τρίγωνα του τραπεζοειδούς μπορούν είτε να είναι ίσα είτε όχι.
