Η βασική διαφορά μεταξύ σταθερού σημείου και σημείου ισορροπίας είναι ότι το σταθερό σημείο είναι χρήσιμο για την εύρεση της σταθερής κατάστασης ενός συστήματος, ενώ το σημείο ισορροπίας είναι η κατάσταση στην οποία το σύστημα δεν αλλάζει καθώς αλλάζουν οι μεταβλητές του συστήματος.
Σταθερό σημείο και σημείο ισορροπίας είναι χρήσιμοι όροι στα μαθηματικά για τον προσδιορισμό της σταθερής κατάστασης ενός επιθυμητού φυσικού συστήματος.
Τι είναι Σταθερό Σημείο;
Το σταθερό σημείο μιας συνάρτησης στα μαθηματικά είναι ένα στοιχείο του τομέα αυτής της συνάρτησης που μπορεί να αντιστοιχιστεί στον εαυτό της μέσω της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, το “c” είναι ένα σταθερό σημείο της συνάρτησης “f” όταν f(c)=c. Αυτό είναι επίσης γνωστό ως σημείο σταθεροποίησης ή αμετάβλητο σημείο. Ως εκ τούτου, f(f(…f(c)…))=f(c)=c που είναι μια σημαντική ανησυχία τερματισμού σχετικά με το αναδρομικά υπολογιστικό "f". Μπορούμε να ονομάσουμε ένα σύνολο σταθερών σημείων ως σταθερό σύνολο.
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα για να κατανοήσουμε αυτό το φαινόμενο. Αν πάρουμε το «f» σε πραγματικούς αριθμούς με f(x)=x2 – 3x +4, τότε το 2 είναι σταθερό σημείο του «f» επειδή f(2)=2. Ωστόσο, όλες οι συναρτήσεις δεν έχουν σταθερά σημεία. Π.χ. όταν f(x)=x + 1, δεν έχει σταθερά σημεία γιατί το "x" δεν ισούται ποτέ με το "x +1" για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Λαμβάνοντας υπόψη τη γραφική ορολογία, ένα σταθερό σημείο «x» αναφέρεται στο σημείο (x, f(x)) που βρίσκεται στην ευθεία y=x. Με άλλα λόγια, το γράφημα του "f" περιέχει ένα κοινό σημείο με αυτή τη γραμμή.
Σταθερά σημεία είναι περιοδικά σημεία που έχουν την περίοδό τους ίση με ένα. Λαμβάνοντας υπόψη την προβολική γεωμετρία, τα σταθερά σημεία μιας προβολικότητας ονομάζονται διπλά σημεία. Σύμφωνα με τη θεωρία Galois, η σειρά σταθερών σημείων ενός συνόλου αυτομορφισμών πεδίου ονομάζεται σταθερό πεδίο αυτού του συνόλου αυτομορφισμών.
Υπάρχουν διαφορετικές εφαρμογές σταθερών σημείων, συμπεριλαμβανομένων των οικονομικών, της φυσικής, των μεταγλωττιστών γλωσσών προγραμματισμού, της θεωρίας τύπων, του διανύσματος στις τιμές PageRank όλων των ιστοσελίδων, της σταθερής κατανομής της αλυσίδας Markov κ.λπ.
Τι είναι το Σημείο Ισορροπίας;
Ένα σημείο ισορροπίας είναι μια σταθερή λύση σε μια διαφορετική εξίσωση στα μαθηματικά. Αυτός ο όρος εμπίπτει κυρίως στις διαφορικές εξισώσεις στα μαθηματικά. Μπορούμε να ταξινομήσουμε τις ισορροπίες παρατηρώντας τα πρόσημα των ιδιοτιμών της γραμμικοποίησης των εξισώσεων για τις ισορροπίες. Με άλλα λόγια, μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε τις ισορροπίες αξιολογώντας τον Jacobian matrix στα σημεία ισορροπίας του επιθυμητού συστήματος, ακολουθούμενο από την εύρεση των ιδιοτιμών που προκύπτουν. Εκεί, μπορούμε να προσδιορίσουμε ποσοτικά τη συμπεριφορά του συστήματος στη γειτονιά των σημείων ισορροπίας βρίσκοντας τα ιδιοδιανύσματα που σχετίζονται με τις ιδιοτιμές.
Μπορούμε να πούμε ότι ένα σημείο ισορροπίας είναι υπερβολικό όταν καμία από τις ιδιοτιμές δεν έχει μηδενικό πραγματικό μέρος. Ωστόσο, εάν όλες οι ιδιοτιμές έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε η ισορροπία γίνεται σταθερή εξίσωση. Ομοίως, εάν υπάρχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε η ισορροπία γίνεται ασταθής. Επιπλέον, εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα αρνητικό πραγματικό μέρος και τουλάχιστον ένα θετικό πραγματικό μέρος στις ιδιοτιμές, τότε η ισορροπία λαμβάνει ένα σημείο σέλας.
Ποιες είναι οι ομοιότητες μεταξύ σταθερού σημείου και σημείου ισορροπίας;
- Αυτά τα σημεία ενδέχεται να μην είναι σταθερά.
- Και τα δύο σημεία περιγράφονται για μια κατάσταση σταθερής κατάστασης ενός συστήματος.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ σταθερού σημείου και σημείου ισορροπίας;
Οι όροι σταθερό σημείο και σημείο ισορροπίας χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά. Η βασική διαφορά μεταξύ σταθερού σημείου και σημείου ισορροπίας είναι ότι το σταθερό σημείο είναι χρήσιμο για την εύρεση της σταθερής κατάστασης ενός συστήματος, ενώ το σημείο ισορροπίας είναι η κατάσταση στην οποία το σύστημα δεν αλλάζει καθώς αλλάζουν οι μεταβλητές του συστήματος.
Σύνοψη – Σταθερό σημείο έναντι σημείου ισορροπίας
Σταθερό σημείο και σημείο ισορροπίας είναι χρήσιμοι όροι στα μαθηματικά για τον προσδιορισμό της σταθερής κατάστασης ενός επιθυμητού φυσικού συστήματος. Η βασική διαφορά μεταξύ σταθερού σημείου και σημείου ισορροπίας είναι ότι το σταθερό σημείο είναι χρήσιμο για την εύρεση της σταθερής κατάστασης ενός συστήματος, ενώ το σημείο ισορροπίας είναι η κατάσταση στην οποία το σύστημα δεν αλλάζει καθώς αλλάζουν οι μεταβλητές του συστήματος.
