Πληθυσμός έναντι τυπικής απόκλισης δείγματος
Στις στατιστικές, αρκετοί δείκτες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν ένα σύνολο δεδομένων που αντιστοιχεί στην κεντρική τάση, τη διασπορά και τη λοξότητα του. Η τυπική απόκλιση είναι ένα από τα πιο κοινά μέτρα διασποράς δεδομένων από το κέντρο του συνόλου δεδομένων.
Λόγω πρακτικών δυσκολιών, δεν θα είναι δυνατή η χρήση δεδομένων από ολόκληρο τον πληθυσμό όταν ελέγχεται μια υπόθεση. Επομένως, χρησιμοποιούμε τιμές δεδομένων από δείγματα για να βγάλουμε συμπεράσματα σχετικά με τον πληθυσμό. Σε μια τέτοια περίπτωση, αυτοί ονομάζονται εκτιμητές αφού υπολογίζουν τις τιμές παραμέτρων πληθυσμού.
Είναι εξαιρετικά σημαντικό να χρησιμοποιείτε αμερόληπτους εκτιμητές στο συμπέρασμα. Ένας εκτιμητής λέγεται ότι είναι αμερόληπτος εάν η αναμενόμενη τιμή αυτού του εκτιμητή είναι ίση με την παράμετρο πληθυσμού. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούμε τη μέση τιμή του δείγματος ως αμερόληπτο εκτιμητή για τη μέση τιμή του πληθυσμού. (Μαθηματικά, μπορεί να αποδειχθεί ότι η αναμενόμενη τιμή του μέσου όρου του δείγματος είναι ίση με τον μέσο όρο του πληθυσμού). Στην περίπτωση της εκτίμησης της τυπικής απόκλισης πληθυσμού, η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι επίσης ένας αμερόληπτος εκτιμητής.
Τι είναι η τυπική απόκλιση πληθυσμού;
Όταν μπορούν να ληφθούν υπόψη δεδομένα από ολόκληρο τον πληθυσμό (για παράδειγμα στην περίπτωση απογραφής), είναι δυνατός ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού. Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού, αρχικά υπολογίζονται οι αποκλίσεις των τιμών των δεδομένων από τον μέσο όρο του πληθυσμού. Η ρίζα του μέσου τετραγώνου (τετραγωνικός μέσος όρος) των αποκλίσεων ονομάζεται τυπική απόκλιση πληθυσμού.
Σε μια τάξη 10 μαθητών, μπορούν εύκολα να συλλεχθούν δεδομένα σχετικά με τους μαθητές. Εάν μια υπόθεση ελεγχθεί σε αυτόν τον πληθυσμό μαθητών, τότε δεν χρειάζεται να χρησιμοποιηθούν τιμές δείγματος. Για παράδειγμα, τα βάρη των 10 μαθητών (σε κιλά) μετρώνται σε 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 και 79. Τότε το μέσο βάρος των δέκα ατόμων (σε κιλά) είναι (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, που είναι 71 (σε κιλά). Αυτός είναι ο μέσος όρος του πληθυσμού.
Τώρα για να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση πληθυσμού, υπολογίζουμε τις αποκλίσεις από τον μέσο όρο. Οι αντίστοιχες αποκλίσεις από τον μέσο όρο είναι (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 και (79 – 71)=8. Το άθροισμα των τετραγώνων της απόκλισης είναι (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Η τυπική απόκλιση πληθυσμού είναι √(366/10)=6,05 (σε κιλά). 71 είναι το ακριβές μέσο βάρος των μαθητών της τάξης και 6.05 είναι η ακριβής τυπική απόκλιση βάρους από το 71.
Τι είναι η τυπική απόκλιση δείγματος;
Όταν χρησιμοποιούνται δεδομένα από ένα δείγμα (μέγεθος n) για την εκτίμηση των παραμέτρων του πληθυσμού, υπολογίζεται η τυπική απόκλιση του δείγματος. Αρχικά υπολογίζονται οι αποκλίσεις των τιμών των δεδομένων από τον μέσο όρο του δείγματος. Δεδομένου ότι ο μέσος όρος του δείγματος χρησιμοποιείται στη θέση του μέσου όρου του πληθυσμού (που είναι άγνωστος), η λήψη του τετραγωνικού μέσου όρου δεν είναι κατάλληλη. Για να αντισταθμιστεί η χρήση του μέσου όρου του δείγματος, το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων διαιρείται με (n-1) αντί για n. Η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι η τετραγωνική ρίζα αυτής. Στα μαθηματικά σύμβολα, S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, όπου S είναι η τυπική απόκλιση δείγματος, ẍ είναι ο μέσος όρος του δείγματος και xi είναι τα σημεία δεδομένων.
Τώρα υποθέστε ότι, στο προηγούμενο παράδειγμα, ο πληθυσμός είναι οι μαθητές ολόκληρου του σχολείου. Τότε, η τάξη θα είναι μόνο ένα δείγμα. Εάν αυτό το δείγμα χρησιμοποιείται στην εκτίμηση, η τυπική απόκλιση του δείγματος θα είναι √(366/9)=6.38 (σε κιλά) αφού το 366 διαιρέθηκε με το 9 αντί για το 10 (το μέγεθος του δείγματος). Το γεγονός που πρέπει να παρατηρήσουμε είναι ότι αυτή δεν είναι εγγυημένη ότι είναι η ακριβής τιμή τυπικής απόκλισης πληθυσμού. Είναι απλώς μια εκτίμηση για αυτό.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της τυπικής απόκλισης πληθυσμού και της τυπικής απόκλισης δείγματος;
• Η τυπική απόκλιση πληθυσμού είναι η ακριβής τιμή παραμέτρου που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της διασποράς από το κέντρο, ενώ η τυπική απόκλιση δείγματος είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής για αυτήν.
• Η τυπική απόκλιση πληθυσμού υπολογίζεται όταν είναι γνωστά όλα τα δεδομένα για κάθε άτομο του πληθυσμού. Διαφορετικά, υπολογίζεται η τυπική απόκλιση του δείγματος.
• Η τυπική απόκλιση πληθυσμού δίνεται από σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} όπου μ είναι ο μέσος όρος του πληθυσμού και n είναι το μέγεθος του πληθυσμού, αλλά το η τυπική απόκλιση δείγματος δίνεται από το S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} όπου ẍ είναι ο μέσος όρος του δείγματος και n είναι το μέγεθος του δείγματος.
