Απόκλιση έναντι Τυπικής απόκλισης
Απόκλιση έναντι Τυπικής απόκλισης
Σε περιγραφικές και συμπερασματικές στατιστικές, χρησιμοποιούνται αρκετοί δείκτες για να περιγράψουν ένα σύνολο δεδομένων που αντιστοιχεί στην κεντρική τάση, τη διασπορά και τη λοξότητα του. Στα στατιστικά συμπεράσματα, αυτοί είναι συνήθως γνωστοί ως εκτιμητές, καθώς εκτιμούν τις τιμές παραμέτρων πληθυσμού.
Η διασπορά είναι το μέτρο της εξάπλωσης των δεδομένων γύρω από το κέντρο του συνόλου δεδομένων. Η τυπική απόκλιση είναι ένα από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα μέτρα διασποράς. Οι αποκλίσεις κάθε σημείου δεδομένων από τη μέση τιμή λαμβάνονται υπόψη κατά τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης. Ως εκ τούτου, μπορεί κανείς να υποστηρίξει ότι η τυπική απόκλιση μαζί με τον μέσο όρο θα παρέχουν μια σχεδόν επαρκή εικόνα για ένα σύνολο δεδομένων.
Σκεφτείτε το ακόλουθο σύνολο δεδομένων. Τα βάρη 10 ατόμων (σε κιλά) μετρώνται σε 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 και 79. Τότε το μέσο βάρος των δέκα ατόμων (σε κιλά) είναι 71 (σε κιλά).
Τι είναι η απόκλιση;
Στα στατιστικά, η απόκλιση σημαίνει το ποσό κατά το οποίο ένα μεμονωμένο σημείο δεδομένων διαφέρει από μια σταθερή τιμή όπως η μέση τιμή. Σε γενικές γραμμές, έστω το k μια σταθερή τιμή και το x1, x2, …, xn υποδηλώνει ένα δεδομένο σειρά. Στη συνέχεια, η απόκλιση του xj από το k ορίζεται ως (xj– k).
Για παράδειγμα, στο παραπάνω σύνολο δεδομένων οι αντίστοιχες αποκλίσεις από τον μέσο όρο είναι (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 και (79 – 71)=8.
Τι είναι η τυπική απόκλιση;
Όταν μπορούν να ληφθούν υπόψη δεδομένα από ολόκληρο τον πληθυσμό (για παράδειγμα στην περίπτωση απογραφής), είναι δυνατός ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού. Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού, αρχικά υπολογίζονται οι αποκλίσεις των τιμών των δεδομένων από τον μέσο όρο του πληθυσμού. Η ρίζα του μέσου τετραγώνου (τετραγωνικός μέσος όρος) των αποκλίσεων ονομάζεται τυπική απόκλιση πληθυσμού. Σε σύμβολα, σ=√{ ∑(xi-µ)2 / n} όπου μ είναι ο μέσος όρος του πληθυσμού και n είναι το μέγεθος του πληθυσμού.
Όταν χρησιμοποιούνται δεδομένα από ένα δείγμα (μέγεθος n) για την εκτίμηση των παραμέτρων του πληθυσμού, υπολογίζεται η τυπική απόκλιση του δείγματος. Αρχικά υπολογίζονται οι αποκλίσεις των τιμών των δεδομένων από τον μέσο όρο του δείγματος. Δεδομένου ότι ο μέσος όρος του δείγματος χρησιμοποιείται στη θέση του μέσου όρου του πληθυσμού (που είναι άγνωστος), η λήψη του τετραγωνικού μέσου όρου δεν είναι κατάλληλη. Προκειμένου να αντισταθμιστεί η χρήση του μέσου όρου του δείγματος, το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων διαιρείται με (n-1) αντί για n. Η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι η τετραγωνική ρίζα αυτής. Στα μαθηματικά σύμβολα, S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, όπου S είναι η τυπική απόκλιση δείγματος, ẍ είναι ο μέσος όρος του δείγματος και τα xi είναι τα σημεία δεδομένων.
Στο προηγούμενο σύνολο δεδομένων, το άθροισμα των τετραγώνων της απόκλισης είναι (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 12 + 92 + (-1) 2 + (-8)2 + 12 + 62 + 82=366. Έτσι, η τυπική απόκλιση πληθυσμού είναι √(366/10)=6,05 (σε κιλά). (Υποθέτοντας ότι ο υπό εξέταση πληθυσμός αποτελείται από τα 10 άτομα από τα οποία ελήφθησαν τα δεδομένα).
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της απόκλισης και της τυπικής απόκλισης;
• Η τυπική απόκλιση είναι ένας στατιστικός δείκτης και ένας εκτιμητής, αλλά η απόκλιση δεν είναι.
• Η τυπική απόκλιση είναι ένα μέτρο διασποράς μιας ομάδας δεδομένων από το κέντρο, ενώ η απόκλιση αναφέρεται στο ποσό κατά το οποίο ένα μεμονωμένο σημείο δεδομένων διαφέρει από μια σταθερή τιμή.
