Κατανομές Διακριτών έναντι Συνεχών Πιθανοτήτων
Τα στατιστικά πειράματα είναι τυχαία πειράματα που μπορούν να επαναληφθούν επ' αόριστον με ένα γνωστό σύνολο αποτελεσμάτων. Μια μεταβλητή λέγεται ότι είναι μια τυχαία μεταβλητή εάν είναι αποτέλεσμα ενός στατιστικού πειράματος. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα τυχαίο πείραμα ανατροπής ενός νομίσματος δύο φορές. τα πιθανά αποτελέσματα είναι HH, HT, TH και TT. Έστω η μεταβλητή X ο αριθμός των κεφαλών στο πείραμα. Στη συνέχεια, το X μπορεί να πάρει τις τιμές 0, 1 ή 2 και είναι μια τυχαία μεταβλητή. Παρατηρήστε ότι υπάρχει μια σαφής πιθανότητα για καθένα από τα αποτελέσματα X=0, X=1 και X=2.
Έτσι, μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί από το σύνολο των πιθανών αποτελεσμάτων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών με τέτοιο τρόπο ώστε ƒ(x)=P(X=x) (η πιθανότητα το X να είναι ίση με x) για κάθε πιθανό αποτέλεσμα x. Αυτή η συγκεκριμένη συνάρτηση f ονομάζεται συνάρτηση μάζας/πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X. Τώρα η συνάρτηση μάζας πιθανότητας του X, στο συγκεκριμένο παράδειγμα, μπορεί να γραφτεί ως ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ (2)=0,25.
Επίσης, μια συνάρτηση που ονομάζεται συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (F) μπορεί να οριστεί από το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ως F(x)=P(X ≤x) (η πιθανότητα το X είναι μικρότερο από ή ίσο με x) για κάθε πιθανό αποτέλεσμα x. Τώρα η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής του X, στο συγκεκριμένο παράδειγμα, μπορεί να γραφτεί ως F(a)=0, εάν a<0; F(a)=0,25, εάν 0≤a<1; F(a)=0,75, εάν 1≤a<2; F(a)=1, εάν a≥2.
Τι είναι μια διακριτή κατανομή πιθανοτήτων;
Αν η τυχαία μεταβλητή που σχετίζεται με την κατανομή πιθανότητας είναι διακριτή, τότε μια τέτοια κατανομή πιθανότητας ονομάζεται διακριτή. Μια τέτοια κατανομή καθορίζεται από μια συνάρτηση μάζας πιθανότητας (ƒ). Το παράδειγμα που δίνεται παραπάνω είναι ένα παράδειγμα μιας τέτοιας κατανομής αφού η τυχαία μεταβλητή X μπορεί να έχει μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό τιμών. Συνηθισμένα παραδείγματα διακριτών κατανομών πιθανοτήτων είναι η διωνυμική κατανομή, η κατανομή Poisson, η υπεργεωμετρική κατανομή και η πολυωνυμική κατανομή. Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (F) είναι μια συνάρτηση βήματος και ∑ ƒ(x)=1.
Τι είναι μια συνεχής κατανομή πιθανοτήτων;
Αν η τυχαία μεταβλητή που σχετίζεται με την κατανομή πιθανότητας είναι συνεχής, τότε μια τέτοια κατανομή πιθανότητας λέγεται συνεχής. Μια τέτοια κατανομή ορίζεται χρησιμοποιώντας μια αθροιστική συνάρτηση κατανομής (F). Στη συνέχεια παρατηρείται ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ƒ(x)=dF(x)/dx και ότι ∫ƒ(x) dx=1. Η κανονική κατανομή, η κατανομή student t, η κατανομή στο chi τετράγωνο και η κατανομή F είναι κοινά παραδείγματα για συνεχή κατανομές πιθανοτήτων.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ μιας διακριτής κατανομής πιθανοτήτων και μιας συνεχούς κατανομής πιθανότητας;
• Σε διακριτές κατανομές πιθανοτήτων, η τυχαία μεταβλητή που σχετίζεται με αυτήν είναι διακριτή, ενώ σε συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων, η τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής.
• Οι συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων εισάγονται συνήθως χρησιμοποιώντας συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, αλλά οι διακριτές κατανομές πιθανοτήτων εισάγονται χρησιμοποιώντας συναρτήσεις μάζας πιθανότητας.
• Το διάγραμμα συχνότητας μιας διακριτής κατανομής πιθανότητας δεν είναι συνεχές, αλλά είναι συνεχές όταν η κατανομή είναι συνεχής.
• Η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να λάβει μια συγκεκριμένη τιμή είναι μηδέν, αλλά δεν συμβαίνει σε διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
