Γραμμικές vs Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις
Μια εξίσωση που περιέχει τουλάχιστον έναν διαφορικό συντελεστή ή παράγωγο μιας άγνωστης μεταβλητής είναι γνωστή ως διαφορική εξίσωση. Μια διαφορική εξίσωση μπορεί να είναι είτε γραμμική είτε μη γραμμική. Το αντικείμενο αυτού του άρθρου είναι να εξηγήσει τι είναι γραμμική διαφορική εξίσωση, τι είναι μη γραμμική διαφορική εξίσωση και ποια είναι η διαφορά μεταξύ γραμμικών και μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.
Από την ανάπτυξη του λογισμού τον 18ο αιώνα από μαθηματικούς όπως ο Newton και ο Leibnitz, η διαφορική εξίσωση έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών. Οι διαφορικές εξισώσεις έχουν μεγάλη σημασία στα μαθηματικά λόγω του εύρους των εφαρμογών τους. Οι διαφορικές εξισώσεις βρίσκονται στο επίκεντρο κάθε μοντέλου που αναπτύσσουμε για να εξηγήσουμε οποιοδήποτε σενάριο ή γεγονός στον κόσμο είτε είναι στη φυσική, τη μηχανική, τη χημεία, τη στατιστική, την οικονομική ανάλυση ή τη βιολογία (η λίστα είναι ατελείωτη). Στην πραγματικότητα, έως ότου ο λογισμός έγινε μια καθιερωμένη θεωρία, τα κατάλληλα μαθηματικά εργαλεία δεν ήταν διαθέσιμα για την ανάλυση των ενδιαφερόντων προβλημάτων στη φύση.
Οι εξισώσεις που προκύπτουν από μια συγκεκριμένη εφαρμογή του λογισμού μπορεί να είναι πολύ περίπλοκες και μερικές φορές μη επιλύσιμες. Ωστόσο, υπάρχουν κάποια που μπορούμε να λύσουμε, αλλά μπορεί να μοιάζουν και να προκαλούν σύγχυση. Επομένως, για ευκολότερη αναγνώριση οι διαφορικές εξισώσεις κατηγοριοποιούνται με βάση τη μαθηματική τους συμπεριφορά. Η γραμμική και η μη γραμμική είναι μια τέτοια κατηγοριοποίηση. Είναι σημαντικό να προσδιορίσετε τη διαφορά μεταξύ γραμμικών και μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.
Τι είναι μια Γραμμική Διαφορική Εξίσωση;
Υποθέστε ότι f: X→Y και f(x)=y, μια διαφορική εξίσωση χωρίς μη γραμμικούς όρους της άγνωστης συνάρτησης y και των παραγώγων της είναι γνωστή ως γραμμική διαφορική εξίσωση.
Επιβάλλει την προϋπόθεση ότι το y δεν μπορεί να έχει υψηλότερους όρους δείκτη όπως y2, y3, … και πολλαπλάσια παραγώγων όπως ως
Δεν μπορεί επίσης να περιέχει μη γραμμικούς όρους όπως Sin y, e y ^-2 ή ln y. Παίρνει τη μορφή,
όπου y και g είναι συναρτήσεις του x. Η εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση τάξης n, η οποία είναι ο δείκτης της παραγώγου υψηλότερης τάξης.
Σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση, ο διαφορικός τελεστής είναι γραμμικός τελεστής και οι λύσεις σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρο. Ως αποτέλεσμα της γραμμικής φύσης του συνόλου λύσεων, ένας γραμμικός συνδυασμός των λύσεων είναι επίσης μια λύση στη διαφορική εξίσωση. Δηλαδή, αν οι y1 και y2 είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης, τότε C1 y 1+ C2 y2 είναι επίσης μια λύση.
Η γραμμικότητα της εξίσωσης είναι μόνο μία παράμετρος της ταξινόμησης και μπορεί περαιτέρω να κατηγοριοποιηθεί σε ομοιογενείς ή μη ομογενείς και συνηθισμένες ή μερικές διαφορικές εξισώσεις. Αν η συνάρτηση είναι g=0 τότε η εξίσωση είναι μια γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση. Εάν η f είναι συνάρτηση δύο ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών (f: X, T→Y) και f(x, t)=y, τότε η εξίσωση είναι μια γραμμική μερική διαφορική εξίσωση.
Η μέθοδος επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης εξαρτάται από τον τύπο και τους συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης. Η πιο εύκολη περίπτωση προκύπτει όταν οι συντελεστές είναι σταθεροί. Κλασικό παράδειγμα για αυτή την περίπτωση είναι ο δεύτερος νόμος της κίνησης του Νεύτωνα και οι διάφορες εφαρμογές του. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα παράγει μια γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Τι είναι μια μη γραμμική διαφορική εξίσωση;
Οι εξισώσεις που περιέχουν μη γραμμικούς όρους είναι γνωστές ως μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις.
Όλα τα παραπάνω είναι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Οι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις είναι δύσκολο να λυθούν, επομένως απαιτείται προσεκτική μελέτη για να ληφθεί μια σωστή λύση. Στην περίπτωση μερικών διαφορικών εξισώσεων, οι περισσότερες από τις εξισώσεις δεν έχουν γενική λύση. Επομένως, κάθε εξίσωση πρέπει να αντιμετωπίζεται ανεξάρτητα.
Η εξίσωση Navier-Stokes και η εξίσωση του Euler στη δυναμική των ρευστών, οι εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν της γενικής σχετικότητας είναι γνωστές μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Μερικές φορές η εφαρμογή της εξίσωσης Lagrange σε ένα μεταβλητό σύστημα μπορεί να οδηγήσει σε ένα σύστημα μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Γραμμικών και Μη Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων;
• Μια διαφορική εξίσωση, η οποία έχει μόνο τους γραμμικούς όρους της άγνωστης ή εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της, είναι γνωστή ως γραμμική διαφορική εξίσωση. Δεν έχει όρο με την εξαρτημένη μεταβλητή του δείκτη μεγαλύτερη από 1 και δεν περιέχει κανένα πολλαπλάσιο των παραγώγων της. Δεν μπορεί να έχει μη γραμμικές συναρτήσεις όπως τριγωνομετρικές συναρτήσεις, εκθετική συνάρτηση και λογαριθμικές συναρτήσεις σε σχέση με την εξαρτημένη μεταβλητή. Οποιαδήποτε διαφορική εξίσωση περιέχει όρους που αναφέρονται παραπάνω είναι μια μη γραμμική διαφορική εξίσωση.
• Οι λύσεις γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δημιουργούν διανυσματικό χώρο και ο διαφορικός τελεστής είναι επίσης γραμμικός τελεστής στο διανυσματικό χώρο.
• Οι λύσεις γραμμικών διαφορικών εξισώσεων είναι σχετικά ευκολότερες και υπάρχουν γενικές λύσεις. Για τις μη γραμμικές εξισώσεις, στις περισσότερες περιπτώσεις, η γενική λύση δεν υπάρχει και η λύση μπορεί να είναι συγκεκριμένη για το πρόβλημα. Αυτό κάνει τη λύση πολύ πιο δύσκολη από τις γραμμικές εξισώσεις.
