Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας έναντι συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας
Πιθανότητα είναι η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός. Αυτή η ιδέα είναι πολύ κοινή και χρησιμοποιείται συχνά στην καθημερινή ζωή όταν αξιολογούμε τις ευκαιρίες, τις συναλλαγές μας και πολλά άλλα πράγματα. Η επέκταση αυτής της απλής ιδέας σε ένα μεγαλύτερο σύνολο εκδηλώσεων είναι λίγο πιο δύσκολη. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να καταλάβουμε εύκολα τις πιθανότητες να κερδίσουμε μια λαχειοφόρο αγορά, αλλά είναι βολικό, μάλλον διαισθητικό, να πούμε ότι υπάρχει πιθανότητα ένας στους έξι να πάρει τον αριθμό έξι σε ένα ζάρι που πετάμε.
Όταν ο αριθμός των γεγονότων που μπορούν να συμβούν γίνεται μεγαλύτερος ή ο αριθμός των επιμέρους δυνατοτήτων είναι μεγάλος, αυτή η μάλλον απλή ιδέα της πιθανότητας αποτυγχάνει. Επομένως, πρέπει να δοθεί ένας στέρεος μαθηματικός ορισμός πριν προσεγγίσουμε προβλήματα με μεγαλύτερη πολυπλοκότητα.
Όταν ο αριθμός των γεγονότων που μπορούν να πραγματοποιηθούν σε μια μεμονωμένη κατάσταση είναι μεγάλος, είναι αδύνατο να θεωρηθεί κάθε γεγονός ξεχωριστά όπως στο παράδειγμα των ζαριών που πετάχτηκαν. Ως εκ τούτου, ολόκληρο το σύνολο των γεγονότων συνοψίζεται με την εισαγωγή της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής. Είναι μια μεταβλητή, η οποία μπορεί να υποθέσει τις τιμές διαφορετικών γεγονότων σε αυτή τη συγκεκριμένη κατάσταση (ή τον χώρο του δείγματος). Δίνει μια μαθηματική έννοια σε απλά γεγονότα στην κατάσταση, και μαθηματικό τρόπο αντιμετώπισης του συμβάντος. Πιο συγκεκριμένα, μια τυχαία μεταβλητή είναι μια συνάρτηση πραγματικής τιμής στα στοιχεία του δείγματος χώρου. Οι τυχαίες μεταβλητές μπορεί να είναι είτε διακριτές είτε συνεχείς. Συνήθως συμβολίζονται με τα κεφαλαία γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου.
Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (ή απλά, η κατανομή πιθανότητας) είναι μια συνάρτηση που εκχωρεί τις τιμές πιθανότητας για κάθε συμβάν. δηλ. παρέχει μια σχέση με τις πιθανότητες για τις τιμές που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή. Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ορίζεται για διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι το ισοδύναμο της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας για τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, δίνει την πιθανότητα μια συγκεκριμένη τυχαία μεταβλητή να λάβει μια συγκεκριμένη τιμή.
Αν το X είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η συνάρτηση που δίνεται ως f (x)=P (X=x) για κάθε x εντός του εύρους του X ονομάζεται συνάρτηση κατανομής πιθανότητας. Μια συνάρτηση μπορεί να χρησιμεύσει ως συνάρτηση κατανομής πιθανότητας εάν και μόνο εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Μια συνάρτηση f (x) που ορίζεται πάνω από το σύνολο των πραγματικών αριθμών ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X, εάν και μόνο εάν, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx για τυχόν πραγματικές σταθερές a και b.
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα πρέπει επίσης να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες.
1. f (x) ≥ 0 για όλα τα x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Τόσο η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας όσο και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν την κατανομή των πιθανοτήτων στον χώρο του δείγματος. Συνήθως, αυτές ονομάζονται κατανομές πιθανοτήτων.
Για στατιστική μοντελοποίηση, προκύπτουν τυπικές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας και συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας. Η κανονική κατανομή και η τυπική κανονική κατανομή είναι παραδείγματα συνεχών κατανομών πιθανοτήτων. Η διωνυμική κατανομή και η κατανομή Poisson είναι παραδείγματα διακριτών κατανομών πιθανοτήτων.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της κατανομής πιθανοτήτων και της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας;
• Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι συναρτήσεις που ορίζονται στον χώρο του δείγματος, για να εκχωρηθεί η σχετική τιμή πιθανότητας σε κάθε στοιχείο.
• Οι συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας ορίζονται για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές ενώ οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας ορίζονται για τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.
• Η κατανομή των τιμών πιθανότητας (δηλαδή οι κατανομές πιθανοτήτων) απεικονίζονται καλύτερα από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας.
• Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας μπορεί να αναπαρασταθεί ως τιμές σε έναν πίνακα, αλλά αυτό δεν είναι δυνατό για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας επειδή η μεταβλητή είναι συνεχής.
• Όταν σχεδιάζεται, η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας δίνει ένα διάγραμμα ράβδων ενώ η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνει μια καμπύλη.
• Το ύψος/μήκος των ράβδων της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας πρέπει να προστεθεί στο 1 ενώ η περιοχή κάτω από την καμπύλη της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας πρέπει να προστεθεί σε 1.
• Και στις δύο περιπτώσεις, όλες οι τιμές της συνάρτησης πρέπει να είναι μη αρνητικές.
