Πραγματικοί αριθμοί vs Φανταστικοί Αριθμοί
Οι αριθμοί είναι μαθηματικά αντικείμενα που χρησιμοποιούνται για μέτρηση και μέτρηση. Ο ορισμός του έχει αλλάξει με την πάροδο των ετών με την προσθήκη μηδενικών, αρνητικών αριθμών, ρητών αριθμών, παράλογων αριθμών και φανταστικών αριθμών. Παρόλο που η αφηρημένη βάση των συστημάτων αριθμών σχετίζεται με αλγεβρικές δομές όπως ομάδες, δακτύλιοι και πεδία, εδώ παρουσιάζεται μόνο μια διαισθητική ιδέα.
Τι είναι ένας πραγματικός αριθμός;
Ατυπικά καθοριστικός, πραγματικός αριθμός είναι ένας αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι μη αρνητικό. Στη μαθηματική σημειογραφία, συμβολίζουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών με το σύμβολο R. Επομένως για όλα τα x, αν x ϵ R τότε x 2 ≥ 0. Με πιο αυστηρό τρόπο, μπορεί να εισαγάγει το σύνολο των πραγματικών αριθμών ως το μοναδικό, πλήρες πλήρως διατεταγμένο πεδίο με τη δυαδική πράξη + και. μαζί με τη σχέση τάξης <. Αυτή η σχέση τάξης ακολουθεί τον νόμο της τριχοτομίας, ο οποίος δηλώνει ότι με δεδομένους δύο πραγματικούς αριθμούς x και y, ισχύει ένας και μόνο ένας από αυτούς τους 3. x > y, x < y ή x=y.
Ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να είναι είτε αλγεβρικός είτε υπερβατικός ανάλογα με το αν είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές ή όχι. Επίσης, ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να είναι είτε ρητός είτε παράλογος ανάλογα με το αν μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο ακεραίων ή όχι. Για παράδειγμα, το 2,5 είναι ένας πραγματικός αριθμός, ο οποίος είναι αλγεβρικός και ορθολογικός, αλλά το ᴫ είναι παράλογος καθώς και υπερβατικός.
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει ολοκληρωθεί. Σημαίνει ότι για κάθε μη κενό υποσύνολο πραγματικών αριθμών που οριοθετείται πάνω, έχει ένα ελάχιστο άνω όριο, και από αυτό, μπορεί να συναχθεί ότι για κάθε μη κενό υποσύνολο πραγματικών αριθμών που οριοθετείται παρακάτω, έχει το μεγαλύτερο κάτω όριο. Αυτό διακρίνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών αριθμών. Μπορεί κανείς να υποστηρίξει ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών χτίζεται συμπληρώνοντας τα κενά του συνόλου ατελών ρητών αριθμών, τα κενά είναι παράλογοι αριθμοί.
Τι είναι ένας φανταστικός αριθμός;
Φανταστικός αριθμός είναι ένας αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι αρνητικό. Με άλλα λόγια, αριθμοί όπως √(-1), √(-100) και √(- e) είναι φανταστικοί αριθμοί. Όλοι οι φανταστικοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν με τη μορφή a i όπου i είναι η «φανταστική μονάδα» √(-1) και a είναι ένας πραγματικός αριθμός μη μηδενός. (Παρατηρήστε ότι i2=-1). Αν και αυτοί οι αριθμοί φαίνονται να είναι μη πραγματικοί και όπως υποδηλώνει το όνομα ανύπαρκτοι, χρησιμοποιούνται σε πολλές βασικές εφαρμογές του πραγματικού κόσμου, σε τομείς όπως η αεροπορία, η ηλεκτρονική και η μηχανική.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ πραγματικών και φανταστικών αριθμών;• Το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικό, αλλά το τετράγωνο ενός φανταστικού αριθμού είναι αρνητικό. • Το σύνολο πραγματικών αριθμών σχηματίζει ένα πλήρες πλήρως διατεταγμένο πεδίο ενώ το σύνολο των φανταστικών αριθμών δεν είναι ούτε πλήρες ούτε ταξινομημένο. |
