Cardinal vs Ordinal
Στην καθημερινή μας ζωή, η χρήση αριθμών μπορεί να λάβει διαφορετικές μορφές σε διαφορετικές καταστάσεις. Για παράδειγμα, όταν μετράμε για να υπολογίσουμε το μέγεθος μιας συλλογής αντικειμένων, τα μετράμε ως ένα, δύο, τρία και ούτω καθεξής. Όταν θέλουμε να μετρήσουμε κάτι για να έχουμε την αίσθηση της θέσης των αντικειμένων, τα μετράμε ως πρώτο, δεύτερο, τρίτο κ.ο.κ. Στην πρώτη μορφή μέτρησης, οι αριθμοί λέγονται ότι είναι βασικοί αριθμοί. Στη δεύτερη μορφή μέτρησης, οι αριθμοί θεωρούνται ως τακτικοί αριθμοί. Σε αυτό το πλαίσιο, οι έννοιες καρδινάλιος και διατακτική είναι εντελώς θέμα γλωσσολογίας. καρδινάλιος και διατακτική είναι επίθετα.
Ωστόσο, η επέκταση της έννοιας στα σύνολα στα μαθηματικά αποκαλύπτει μια πολύ βαθύτερη και ευρύτερη προοπτική και δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί με απλά λόγια. Σε αυτό το άρθρο, θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε τις θεμελιώδεις έννοιες των βασικών και των τακτικών αριθμών στα μαθηματικά.
Τυπικοί ορισμοί των βασικών και των τακτικών αριθμών παρέχονται στη θεωρία συνόλων. Οι ορισμοί είναι περίπλοκοι και για να τους κατανοήσουμε με απόλυτη έννοια χρειάζεται βασική γνώση στη θεωρία συνόλων. Επομένως, θα στραφούμε σε μερικά παραδείγματα, για να κατανοήσουμε τις έννοιες ευρετικά.
Σκεφτείτε τα δύο σετ {1, 3, 6, 4, 5, 2} και {λεωφορείο, αυτοκίνητο, πορθμείο, τρένο, αεροπλάνο, ελικόπτερο}. Κάθε σύνολο απαριθμεί ένα σύνολο στοιχείων και αν μετρήσουμε τον αριθμό των στοιχείων είναι προφανές ότι το καθένα έχει τον ίδιο αριθμό στοιχείων, που είναι 6. Φτάνοντας σε αυτό το συμπέρασμα έχουμε πάρει το μέγεθος ενός συνόλου και συγκρίνουμε με ένα άλλο χρησιμοποιώντας ένα αριθμός. Ένας τέτοιος αριθμός ονομάζεται βασικός αριθμός. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι ένας βασικός αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να συγκρίνουμε το μέγεθος των πεπερασμένων συνόλων.
Και πάλι το πρώτο σύνολο αριθμών μπορεί να ταξινομηθεί σε αύξουσα σειρά λαμβάνοντας υπόψη το μέγεθος κάθε στοιχείου και συγκρίνοντάς τους. Κατά τη διαδικασία της παραγγελίας, οι αριθμοί θεωρούνται καρδινάλιοι. Ομοίως, το σύνολο όλων των μη αρνητικών ακεραίων μπορεί να ταξινομηθεί σε ένα σύνολο. δηλαδή {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, το μέγεθος του συνόλου γίνεται άπειρο και δεν είναι δυνατό να το δώσουμε με όρους διατάξεων. Ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλος αριθμός επιλέγετε για να δώσετε το μέγεθος του συνόλου, θα εξακολουθούν να υπάρχουν αριθμοί εκτός του συνόλου που επιλέγετε και οι οποίοι είναι μη αρνητικοί ακέραιοι.
Επομένως, οι μαθηματικοί ορίζουν αυτόν τον άπειρο καρδινάλιο (που είναι ο πρώτος) ως Άλεφ-0, γραμμένο ως א (πρώτο γράμμα στο εβραϊκό αλφάβητο). Τυπικά, ο τακτικός αριθμός είναι ο τύπος παραγγελίας ενός καλά ταξινομημένου συνόλου. Επομένως, ο τακτικός αριθμός των πεπερασμένων συνόλων μπορεί να δοθεί με βασικούς αριθμούς, αλλά για άπειρα σύνολα ο τακτικός αριθμός δίνεται από διαπερατούς αριθμούς όπως ο Aleph-0.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Κύριων και Τακτικών Αριθμών;
• Ο βασικός αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μέτρηση ή για να δώσει το μέγεθος ενός πεπερασμένου ταξινομημένου συνόλου. Όλοι οι βασικοί αριθμοί είναι τακτικοί.
• Οι τακτικοί αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για να δώσουν το μέγεθος τόσο των πεπερασμένων όσο και των άπειρων διατεταγμένων συνόλων. Το μέγεθος των πεπερασμένων διατεταγμένων συνόλων δίνεται με τους συνήθεις αλγεβρικούς ινδουο-αραβικούς αριθμούς και το μέγεθος του άπειρου συνόλου δίνεται από διαπεραστικούς αριθμούς.
