Διαφοροποίηση έναντι παραγώγου
Στο διαφορικό λογισμό, η παράγωγος και η διαφοροποίηση σχετίζονται στενά, αλλά πολύ διαφορετικές, και χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν δύο σημαντικές μαθηματικές έννοιες που σχετίζονται με συναρτήσεις.
Τι είναι παράγωγο;
Η παράγωγος μιας συνάρτησης μετρά τον ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η τιμή της συνάρτησης καθώς αλλάζει η είσοδος της. Σε συναρτήσεις πολλαπλών μεταβλητών, η αλλαγή στην τιμή της συνάρτησης εξαρτάται από την κατεύθυνση της αλλαγής των τιμών των ανεξάρτητων μεταβλητών. Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις, επιλέγεται μια συγκεκριμένη κατεύθυνση και η συνάρτηση διαφοροποιείται προς τη συγκεκριμένη κατεύθυνση. Αυτή η παράγωγος ονομάζεται κατευθυντική παράγωγος. Οι μερικοί παράγωγοι είναι ένα ειδικό είδος κατευθυντικών παραγώγων.
Παράγωγο μιας συνάρτησης με διανυσματική τιμή f μπορεί να οριστεί ως το όριο [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] όπου κι αν υπάρχει πεπερασμένο. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτό μας δίνει το ρυθμό αύξησης της συνάρτησης f κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u. Στην περίπτωση μιας συνάρτησης με μία τιμή, αυτό μειώνεται στον γνωστό ορισμό της παραγώγου, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\στο 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Για παράδειγμα, το [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] είναι παντού διαφοροποιήσιμο και η παράγωγος είναι ίση με το όριο, [latex]\\lim_{h \\ έως 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], που είναι ίσο με [latex]3x^{2}+4[/latex]. Οι παράγωγοι συναρτήσεων όπως [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] υπάρχουν παντού. Είναι αντίστοιχα ίσες με τις συναρτήσεις [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Αυτό είναι γνωστό ως η πρώτη παράγωγος. Συνήθως η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f συμβολίζεται με f (1) Τώρα χρησιμοποιώντας αυτόν τον συμβολισμό, είναι δυνατός ο ορισμός παραγώγων υψηλότερης τάξης. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] είναι η δεύτερη κατευθυντική παράγωγος και δηλώνει την n η παράγωγο με f (n) για κάθε n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ έως 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], ορίζει το n th παράγωγο.
Τι είναι η διαφοροποίηση;
Διαφοροποίηση είναι η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης. Ο τελεστής D που συμβολίζεται με D αντιπροσωπεύει διαφοροποίηση σε ορισμένα περιβάλλοντα. Αν x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε D ≡ d/dx. Ο τελεστής D είναι ένας γραμμικός τελεστής, δηλαδή για οποιεσδήποτε δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις f και g και σταθερά c, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Χρησιμοποιώντας τον τελεστή D, οι άλλοι κανόνες που σχετίζονται με τη διαφοροποίηση μπορούν να εκφραστούν ως εξής. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (στ) g – f D (g)]/ g 2 και D (f o g)=(D (f) o g) Δ(ζ).
Για παράδειγμα, όταν το F(x)=x 2sin x διαφοροποιείται ως προς το x χρησιμοποιώντας τους κανόνες που δίνονται, η απάντηση θα είναι 2 x sin x + x2cos x.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ διαφοροποίησης και παραγώγου;• Η παράγωγος αναφέρεται σε ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης • Η διαφοροποίηση είναι η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης. |
