Παράγωγο vs Διαφορικό
Στο διαφορικό λογισμό, η παράγωγος και το διαφορικό μιας συνάρτησης συνδέονται στενά αλλά έχουν πολύ διαφορετικές έννοιες και χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν δύο σημαντικά μαθηματικά αντικείμενα που σχετίζονται με διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις.
Τι είναι παράγωγο;
Η παράγωγος μιας συνάρτησης μετρά τον ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η τιμή της συνάρτησης καθώς αλλάζει η είσοδος της. Σε συναρτήσεις πολλαπλών μεταβλητών, η αλλαγή στην τιμή της συνάρτησης εξαρτάται από την κατεύθυνση της αλλαγής των τιμών των ανεξάρτητων μεταβλητών. Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις, επιλέγεται μια συγκεκριμένη κατεύθυνση και η συνάρτηση διαφοροποιείται προς τη συγκεκριμένη κατεύθυνση. Αυτή η παράγωγος ονομάζεται κατευθυντική παράγωγος. Οι μερικοί παράγωγοι είναι ένα ειδικό είδος κατευθυντικών παραγώγων.
Παράγωγο μιας συνάρτησης με διανυσματική τιμή f μπορεί να οριστεί ως το όριο [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] όπου κι αν υπάρχει πεπερασμένο. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτό μας δίνει το ρυθμό αύξησης της συνάρτησης f κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u. Στην περίπτωση μιας συνάρτησης με μία τιμή, αυτό μειώνεται στον γνωστό ορισμό της παραγώγου, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\στο 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Για παράδειγμα, το [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] είναι παντού διαφοροποιήσιμο και η παράγωγος είναι ίση με το όριο, [latex]\\lim_{h \\ έως 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], που είναι ίσο με [latex]3x^{2}+4[/latex]. Οι παράγωγοι συναρτήσεων όπως [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] υπάρχουν παντού. Είναι αντίστοιχα ίσες με τις συναρτήσεις [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Αυτό είναι γνωστό ως η πρώτη παράγωγος. Συνήθως η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f συμβολίζεται με f (1) Τώρα χρησιμοποιώντας αυτόν τον συμβολισμό, είναι δυνατός ο ορισμός παραγώγων υψηλότερης τάξης. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] είναι η δεύτερη κατευθυντική παράγωγος και δηλώνει την n η παράγωγο με f (n) για κάθε n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ έως 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], ορίζει το n th παράγωγο.
Τι είναι το διαφορικό;
Το διαφορικό μιας συνάρτησης αντιπροσωπεύει την αλλαγή στη συνάρτηση σε σχέση με τις αλλαγές στην ανεξάρτητη μεταβλητή ή μεταβλητές. Στη συνήθη σημείωση, για μια δεδομένη συνάρτηση f μιας μεμονωμένης μεταβλητής x, η συνολική διαφορά τάξης 1 df δίνεται από, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Αυτό σημαίνει ότι για μια απειροελάχιστη αλλαγή στο x (δηλαδή d x), θα υπάρχει μια αλλαγή f (1)(x)d x στο f.
Χρησιμοποιώντας όρια μπορεί κανείς να καταλήξει σε αυτόν τον ορισμό ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι Δ x είναι η μεταβολή του x σε ένα αυθαίρετο σημείο x και ∆ f είναι η αντίστοιχη αλλαγή στη συνάρτηση f. Μπορεί να φανεί ότι Δ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, όπου ϵ είναι το σφάλμα. Τώρα, το όριο ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (χρησιμοποιώντας τον προηγουμένως δηλωμένο ορισμό της παραγώγου) και επομένως, Δ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Επομένως, είναι δυνατόν να συμπεράνετε ότι, ∆ x→ 0 ϵ=0. Τώρα, δηλώνοντας ∆ x→ 0 ∆ f ως d f και ∆ x→ 0 ∆ x ως d x προκύπτει αυστηρά ο ορισµός της διαφοράς.
Για παράδειγμα, το διαφορικό της συνάρτησης [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] είναι [latex](3x^{2}+4)dx[/λατέξ].
Στην περίπτωση συναρτήσεων δύο ή περισσότερων μεταβλητών, η συνολική διαφορά μιας συνάρτησης ορίζεται ως το άθροισμα των διαφορών στις κατευθύνσεις καθεμιάς από τις ανεξάρτητες μεταβλητές. Μαθηματικά, μπορεί να δηλωθεί ως [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ παραγώγου και διαφορικού;
• Η παράγωγος αναφέρεται σε ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης ενώ η διαφορική αναφέρεται στην πραγματική αλλαγή της συνάρτησης, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή υπόκειται σε αλλαγή.
• Η παράγωγος δίνεται από [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], αλλά η διαφορά δίνεται από [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
