Μεταβατική ιδιοκτησία έναντι ιδιότητας αντικατάστασης
Η ιδιότητα αντικατάστασης χρησιμοποιείται για τιμές ή μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν αριθμούς. Η ιδιότητα υποκατάστασης της ισότητας δηλώνει ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς a και b, εάν a=b, τότε το a μπορεί να αντικατασταθεί με b. Επομένως, αν a=b, τότε μπορούμε να αλλάξουμε οποιοδήποτε «a» σε «b» ή οποιοδήποτε «b» σε «a».
Για παράδειγμα, αν δοθεί ότι x=6, τότε μπορούμε να λύσουμε την παράσταση (x+4)/5 αντικαθιστώντας την τιμή του x. Αντικαθιστώντας το x με 5 στην παραπάνω παράσταση. (6+4)/5=2. Ουσιαστικά, οποιεσδήποτε δύο τιμές μπορούν να αντικατασταθούν η μία με την άλλη, εάν και μόνο εάν είναι ίσες μεταξύ τους.
Υπάρχει μια ιδιότητα αντικατάστασης που ορίζεται στη γεωμετρία. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό της ιδιότητας υποκατάστασης, εάν δύο γεωμετρικά αντικείμενα (μπορεί να είναι δύο γωνίες, τμήματα, τρίγωνα ή οτιδήποτε άλλο) είναι ίσα, τότε αυτά τα δύο γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να αντικατασταθούν με το ένα άλλο σε μια πρόταση που περιλαμβάνει ένα από αυτά.
Η μεταβατική ιδιότητα είναι ένας πιο επίσημος ορισμός, ο οποίος ορίζεται σε δυαδικές σχέσεις. Μια σχέση R από το σύνολο Α προς το σύνολο Β είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών, αν τα Α και Β είναι ίσα, λέμε ότι η σχέση είναι δυαδική σχέση στο Α. Η μεταβατική ιδιότητα είναι μία από τις ιδιότητες (Ανακλαστική, Συμμετρική, Μεταβατικό) χρησιμοποιείται για τον ορισμό σχέσεων ισοδυναμίας.
Μια σχέση R είναι μεταβατική, αν και μόνο αν, το x σχετίζεται με το R με το y, και το y σχετίζεται με το R με το z, τότε το x σχετίζεται με το R με το z. Συμβολικά, μια μεταβατική ιδιότητα μπορεί να οριστεί ως εξής. Έστω a, b και c που ανήκουν σε ένα σύνολο A, μια δυαδική σχέση «~» έχει τη μεταβατική ιδιότητα που ορίζεται από το, Αν a ~ b και b ~ c, τότε αυτό συνεπάγεται a ~ c.
Για παράδειγμα, το «να είσαι μεγαλύτερος από» είναι μια μεταβατική σχέση. Αν οι a, b και c είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε, ο a είναι μεγαλύτερος από το b και το b είναι μεγαλύτερος από το c, τότε είναι λογική συνέπεια ότι ο a είναι μεγαλύτερος από το c. Το «να είσαι ψηλότερος» είναι επίσης μια μεταβατική σχέση. Αν η Kate είναι ψηλότερη από τη Mary και η Mary είναι πιο ψηλή από την Jenney, αυτό σημαίνει ότι η Kate είναι ψηλότερη από την Jenney.
Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε κριτήρια μεταβατικής σχέσης σε όλες τις δυαδικές σχέσεις. Για παράδειγμα, εάν ο Bill είναι ο πατέρας του John και ο John είναι ο πατέρας του Fred, αυτό δεν σημαίνει ότι ο Bill είναι ο πατέρας του Fred. Ομοίως, το "μου αρέσει" είναι μη μεταβατική ιδιότητα. Αν ο Wilson αρέσει ο Henry και ο Henry αρέσει ο David, αυτό δεν σημαίνει ότι ο Wilson αρέσει ο David. Επομένως, δεν είναι μια μεταβατική σχέση.
Στη γεωμετρία, η μεταβατική ιδιότητα (για τρία τμήματα ή γωνίες) ορίζεται ως εξής:
Αν δύο τμήματα (ή γωνίες) είναι το καθένα ίσα με ένα τρίτο τμήμα (ή γωνία), τότε είναι ίσα μεταξύ τους.
Η μεταβατική ιδιότητα της ισότητας ορίζεται ως εξής. Έστω a, b και c είναι οποιαδήποτε τρία στοιχεία στο σύνολο A, έτσι ώστε a=b και b=c, μετά a=c. Αυτό μοιάζει με την ιδιότητα υποκατάστασης, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ότι αντικαθιστά το b με το c στην εξίσωση a=b. Ωστόσο, αυτές οι δύο ιδιότητες δεν είναι ίδιες.
