Διακεκριμένη συνάρτηση έναντι συνεχούς συνάρτησης
Οι συναρτήσεις είναι μια από τις πιο σημαντικές κατηγορίες μαθηματικών αντικειμένων, που χρησιμοποιούνται ευρέως σε όλα σχεδόν τα υποπεδία των μαθηματικών. Όπως υποδηλώνουν τα ονόματά τους, τόσο οι διακριτές όσο και οι συνεχείς συναρτήσεις είναι δύο ειδικοί τύποι συναρτήσεων.
Μια συνάρτηση είναι μια σχέση μεταξύ δύο συνόλων που ορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε για κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου, η τιμή που αντιστοιχεί σε αυτό στο δεύτερο σύνολο είναι μοναδική. Έστω f μια συνάρτηση που ορίζεται από το σύνολο A στο σύνολο B. Στη συνέχεια, για κάθε x ϵ A, το σύμβολο f (x) υποδηλώνει τη μοναδική τιμή στο σύνολο B που αντιστοιχεί στο x. Ονομάζεται η εικόνα του x κάτω από f. Επομένως, μια σχέση f από το Α στο Β είναι συνάρτηση, αν και μόνο εάν για, κάθε xϵ A και y ϵ A. αν x=y τότε f (x)=f (y). Το σύνολο A ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και είναι το σύνολο στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση.
Για παράδειγμα, θεωρήστε τη σχέση f από R σε R που ορίζεται από f (x)=x + 2 για κάθε xϵ A. Αυτή είναι μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι R, καθώς για κάθε πραγματικό αριθμό x και y, το x=y σημαίνει f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Αλλά η σχέση g από N σε N που ορίζεται από g (x)=a, όπου το 'a' είναι πρώτος συντελεστής του x δεν είναι συνάρτηση ως g (6)=3, καθώς και g (6)=2.
Τι είναι μια διακριτή συνάρτηση;
Μια διακριτή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας ο τομέας είναι το πολύ μετρήσιμος. Απλώς, αυτό σημαίνει ότι είναι δυνατό να δημιουργήσετε μια λίστα που να περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία του τομέα.
Οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο είναι το πολύ μετρήσιμο. Το σύνολο των φυσικών αριθμών και το σύνολο των ρητών αριθμών είναι παραδείγματα για το πολύ μετρήσιμα άπειρα σύνολα. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών και το σύνολο των παράλογων αριθμών δεν είναι το πολύ μετρήσιμα. Και τα δύο σετ είναι αμέτρητα. Σημαίνει ότι είναι αδύνατο να δημιουργήσετε μια λίστα που να περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία αυτών των συνόλων.
Μία από τις πιο κοινές διακριτές συναρτήσεις είναι η παραγοντική συνάρτηση. f:N U{0}→N που ορίζεται αναδρομικά από f (n)=n f (n-1) για κάθε n ≥ 1 και f (0)=1 ονομάζεται παραγοντική συνάρτηση. Παρατηρήστε ότι ο τομέας του N U{0} είναι το πολύ μετρήσιμος.
Τι είναι μια συνεχής συνάρτηση;
Έστω f μια συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε k στο πεδίο ορισμού της f, f (x)→ f (k) ως x → k. Τότε η f είναι συνεχής συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι είναι δυνατό να γίνει η f (x) αυθαίρετα κοντά στην f (k) κάνοντας x αρκετά κοντά στο k για κάθε k στο πεδίο ορισμού της f.
Θεωρήστε τη συνάρτηση f (x)=x + 2 στο R. Μπορεί να φανεί ότι ως x → k, x + 2 → k + 2 δηλαδή f (x)→ f (k). Επομένως, η f είναι συνεχής συνάρτηση. Τώρα, θεωρήστε το g σε θετικούς πραγματικούς αριθμούς g (x)=1 εάν x > 0 και g (x)=0 εάν x=0. Τότε, αυτή η συνάρτηση δεν είναι συνεχής συνάρτηση καθώς το όριο του g (x) δεν υπάρχει (και επομένως δεν είναι ίσο με g (0)) καθώς x → 0.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ διακριτής και συνεχούς συνάρτησης;
• Μια διακριτή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας ο τομέας είναι το πολύ μετρήσιμος, αλλά δεν χρειάζεται να συμβαίνει σε συνεχείς συναρτήσεις.
• Όλες οι συνεχείς συναρτήσεις ƒ έχουν την ιδιότητα ότι ƒ(x)→ƒ(k) ως x → k για κάθε x και για κάθε k στο πεδίο ορισμού του ƒ, αλλά δεν συμβαίνει σε ορισμένες διακριτές συναρτήσεις.
