Τυχαίες μεταβλητές έναντι κατανομής πιθανοτήτων
Τα στατιστικά πειράματα είναι τυχαία πειράματα που μπορούν να επαναληφθούν επ' αόριστον με ένα γνωστό σύνολο αποτελεσμάτων. Τόσο οι τυχαίες μεταβλητές όσο και οι κατανομές πιθανοτήτων σχετίζονται με τέτοια πειράματα. Για κάθε τυχαία μεταβλητή, υπάρχει μια συσχετισμένη κατανομή πιθανότητας που ορίζεται από μια συνάρτηση που ονομάζεται συνάρτηση αθροιστικής κατανομής.
Τι είναι μια τυχαία μεταβλητή;
Μια τυχαία μεταβλητή είναι μια συνάρτηση που εκχωρεί αριθμητικές τιμές στα αποτελέσματα ενός στατιστικού πειράματος. Με άλλα λόγια, είναι μια συνάρτηση που ορίζεται από το χώρο δείγματος ενός στατιστικού πειράματος στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα τυχαίο πείραμα ανατροπής ενός νομίσματος δύο φορές. Τα πιθανά αποτελέσματα είναι HH, HT, TH και TT (H – heads, T – tales). Έστω η μεταβλητή X ο αριθμός των κεφαλών που παρατηρήθηκαν στο πείραμα. Στη συνέχεια, το X μπορεί να πάρει τις τιμές 0, 1 ή 2 και είναι μια τυχαία μεταβλητή. Εδώ, η τυχαία μεταβλητή X θα αντιστοιχίσει το σύνολο S={HH, HT, TH, TT} (ο χώρος του δείγματος) στο σύνολο {0, 1, 2} με τέτοιο τρόπο ώστε το HH να αντιστοιχιστεί σε 2, HT και TH αντιστοιχίζονται στο 1 και το TT αντιστοιχίζεται στο 0. Στη σημειογραφία συνάρτησης, αυτό μπορεί να γραφτεί ως, X: S → R όπου X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 και X(TT)=0.
Υπάρχουν δύο τύποι τυχαίων μεταβλητών: διακριτές και συνεχείς, κατά συνέπεια ο αριθμός των πιθανών τιμών που μπορεί να υποθέσει μια τυχαία μεταβλητή είναι το πολύ μετρήσιμος ή όχι. Στο προηγούμενο παράδειγμα, η τυχαία μεταβλητή X είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή αφού το {0, 1, 2} είναι ένα πεπερασμένο σύνολο. Τώρα, σκεφτείτε το στατιστικό πείραμα της εύρεσης των βαρών των μαθητών σε μια τάξη. Έστω Y η τυχαία μεταβλητή που ορίζεται ως το βάρος ενός μαθητή. Το Y μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Επομένως, το Y είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή.
Τι είναι η κατανομή πιθανότητας;
Η κατανομή πιθανότητας είναι μια συνάρτηση που περιγράφει την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να λάβει συγκεκριμένες τιμές.
Μια συνάρτηση που ονομάζεται συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (F) μπορεί να οριστεί από το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ως F(x)=P(X ≤ x) (η πιθανότητα το X να είναι μικρότερο από ή ίσο με x) για κάθε πιθανό αποτέλεσμα x. Τώρα η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής του X στο πρώτο παράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως F(a)=0, εάν a<0; F(a)=0,25, εάν 0≤a<1; F(a)=0,75, εάν 1≤a<2 και F(a)=1, εάν a≥2.
Σε περίπτωση διακριτών τυχαίων μεταβλητών, μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί από το σύνολο των πιθανών αποτελεσμάτων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών με τέτοιο τρόπο ώστε ƒ(x)=P(X=x) (η πιθανότητα του X είναι ίσο με x) για κάθε πιθανό αποτέλεσμα x. Αυτή η συγκεκριμένη συνάρτηση ƒ ονομάζεται συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X. Τώρα η συνάρτηση μάζας πιθανότητας του X στο πρώτο συγκεκριμένο παράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 και ƒ(x)=0 διαφορετικά. Έτσι, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μαζί με τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής θα περιγράψει την κατανομή πιθανότητας του X στο πρώτο παράδειγμα.
Στην περίπτωση συνεχών τυχαίων μεταβλητών, μια συνάρτηση που ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (ƒ) μπορεί να οριστεί ως ƒ(x)=dF(x)/dx για κάθε x όπου F είναι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής του συνεχής τυχαία μεταβλητή. Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτή η συνάρτηση ικανοποιεί ∫ƒ(x)dx=1. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μαζί με τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής περιγράφουν την κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής. Για παράδειγμα, η κανονική κατανομή (η οποία είναι μια συνεχής κατανομή πιθανότητας) περιγράφεται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- μ)]2/(2σ2)).
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Τυχαίων μεταβλητών και Κατανομής Πιθανοτήτων;
• Η τυχαία μεταβλητή είναι μια συνάρτηση που συσχετίζει τις τιμές ενός δείγματος χώρου με έναν πραγματικό αριθμό.
• Η κατανομή πιθανοτήτων είναι μια συνάρτηση που συσχετίζει τις τιμές που μπορεί να λάβει μια τυχαία μεταβλητή με την αντίστοιχη πιθανότητα εμφάνισης.
