καρτεσιανές συντεταγμένες εναντίον πολικών συντεταγμένων
Στη Γεωμετρία, ένα σύστημα συντεταγμένων είναι ένα σύστημα αναφοράς, όπου αριθμοί (ή συντεταγμένες) χρησιμοποιούνται για τον μοναδικό προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου ή άλλου γεωμετρικού στοιχείου στο χώρο. Τα συστήματα συντεταγμένων επιτρέπουν τη μετατροπή των γεωμετρικών προβλημάτων σε αριθμητικό πρόβλημα, το οποίο παρέχει τη βάση για την Αναλυτική Γεωμετρία.
Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και τα συστήματα πολικών συντεταγμένων είναι δύο από τα κοινά συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά.
καρτεσιανές συντεταγμένες
Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιεί την πραγματική αριθμητική γραμμή ως αναφορά. Σε μία διάσταση, η αριθμητική γραμμή εκτείνεται από το αρνητικό άπειρο στο θετικό άπειρο. Θεωρώντας το σημείο 0 ως αρχή, το μήκος σε κάθε σημείο μπορεί να μετρηθεί. Αυτό παρέχει έναν μοναδικό τρόπο αναγνώρισης μιας θέσης στη γραμμή, με έναν μόνο αριθμό.
Η έννοια μπορεί να επεκταθεί σε δύο και τρεις διαστάσεις όπου χρησιμοποιούνται αριθμητικές γραμμές κάθετες μεταξύ τους. Όλοι μοιράζονται το ίδιο σημείο 0 με την αρχή. Οι αριθμητικές γραμμές ονομάζονται άξονες και συχνά ονομάζονται άξονας X, άξονας Y και άξονας Z. Η απόσταση από ένα σημείο κατά μήκος κάθε άξονα που ξεκινά από το (0, 0, 0), το οποίο είναι επίσης γνωστό ως αρχή, και δίνεται ως πλειάδα είναι γνωστή ως συντεταγμένη του σημείου. Ένα γενικό σημείο σε αυτό το διάστημα μπορεί να αναπαρασταθεί από τη συντεταγμένη (x, y, z). Σε ένα επίπεδο σύστημα όπου υπάρχουν μόνο δύο άξονες, οι συντεταγμένες δίνονται ως (x, y). Ένα επίπεδο που δημιουργείται από τους άξονες είναι γνωστό ως καρτεσιανό επίπεδο και συχνά αναφέρεται με τα γράμματα των αξόνων. Π.χ. XY αεροπλάνο.
Αυτό το γενικό σημείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει διαφορετικά γεωμετρικά στοιχεία περιορίζοντας το γενικό σημείο να συμπεριφέρεται με συγκεκριμένους τρόπους. Για παράδειγμα, η εξίσωση x^2+y^2=a^2 αντιπροσωπεύει έναν κύκλο. Αντί να σχεδιάσετε έναν κύκλο με ακτίνα a, είναι δυνατό να υποδηλώσετε τον κύκλο με πιο αφηρημένο τρόπο που φαίνεται παραπάνω.
Πολικές συντεταγμένες
Οι πολικές συντεταγμένες χρησιμοποιούν ένα σύστημα αναφοράς διαφοράς για να δηλώσουν ένα σημείο. Το σύστημα πολικών συντεταγμένων χρησιμοποιεί την αριστερόστροφη γωνία από τη θετική κατεύθυνση του άξονα x και την απόσταση της ευθείας γραμμής μέχρι το σημείο ως συντεταγμένες.
Οι πολικές συντεταγμένες μπορούν να αναπαρασταθούν όπως παραπάνω στο δισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
Ο μετασχηματισμός μεταξύ πολικών και καρτεσιανών συστημάτων δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις:
r=√(x2 + y2) ↔ x=r cosθ, y=r sinθ
θ=μαύρισμα-1 (x/y)
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Καρτεσιανών και Πολικών Συντεταγμένων;
• Οι καρτεσιανές συντεταγμένες χρησιμοποιούν αριθμητικές γραμμές ως άξονες και μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε μία, δύο ή τρεις διαστάσεις. Επομένως έχει την ικανότητα να αναπαριστά γραμμικές, επίπεδες και συμπαγείς γεωμετρίες.
• Οι πολικές συντεταγμένες χρησιμοποιούν μια γωνία και ένα μήκος ως συντεταγμένες και μπορεί να αντιπροσωπεύει μόνο γραμμικές και επίπεδες γεωμετρίες, αν και μπορεί να αναπτυχθεί σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων, για να αναπαραστήσει συμπαγείς γεωμετρίες.
• Και τα δύο συστήματα χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση φανταστικών αριθμών ορίζοντας τον φανταστικό άξονα και παίζουν ζωτικό ρόλο στη σύνθετη άλγεβρα. Αν και, στην απλή μορφή, οι καρτεσιανές συντεταγμένες είναι πραγματικοί αριθμοί (x, y, z), οι συντεταγμένες στο πολικό σύστημα δεν είναι πάντα πραγματικοί αριθμοί. δηλ. αν η γωνία δίνεται σε μοίρες, οι συντεταγμένες δεν είναι πραγματικές. αν η γωνία δίνεται σε ακτίνια, οι συντεταγμένες είναι πραγματικοί αριθμοί.
