Τοπικό vs Παγκόσμιο Μέγιστο
Η μεγαλύτερη τιμή ενός συνόλου ή μιας συνάρτησης είναι γνωστή ως μέγιστη. Θεωρήστε το σύνολο {ai | i ∈ N}. Το στοιχείο ak όπου ak ≥ ai για όλα τα i είναι γνωστό ως το μέγιστο στοιχείο του συνόλου. Εάν το σετ είναι ταξινομημένο, γίνεται το τελευταίο στοιχείο του συνόλου.
Για παράδειγμα, πάρτε το σύνολο A={1, 6, 9, 2, 4, 8, 3}. Λαμβάνοντας υπόψη όλα τα στοιχεία, το 9 είναι μεγαλύτερο από κάθε άλλο στοιχείο στο σύνολο. Επομένως, είναι το μέγιστο στοιχείο του συνόλου. Με την παραγγελία του σετ, παίρνουμε A={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}. Στο διατεταγμένο σύνολο, το 9 (το μέγιστο στοιχείο) είναι το τελευταίο στοιχείο.
Τοπικό μέγιστο
Η μεγαλύτερη τιμή σε ένα υποσύνολο ή ένα εύρος μιας συνάρτησης είναι γνωστή ως τοπικό μέγιστο. Είναι η μεγαλύτερη τιμή για το δεδομένο υποσύνολο ή το εύρος, αλλά μπορεί να υπάρχουν άλλα στοιχεία μεγαλύτερα από αυτά εκτός του σημειωμένου εύρους ή του υποσυνόλου. Μπορεί να υπάρχουν πολλά τοπικά μέγιστα στο εύρος της συνάρτησης ή του καθολικού συνόλου.
Θεωρήστε το σύνολο των ακεραίων αριθμών 1 έως 10, S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Το A είναι ένα υποσύνολο του S. Το μέγιστο του A (9) δεν είναι το μέγιστο για ολόκληρο το σύνολο, το οποίο είναι 10. Επομένως το 9 είναι ένα τοπικό μέγιστο.
Παγκόσμιο μέγιστο
Η μεγαλύτερη συνολική τιμή μιας συνάρτησης ή ενός συνόλου είναι γνωστή ως το καθολικό μέγιστο. Έχει οριστεί S, το 10 είναι το συνολικό μέγιστο. Αυτό το στοιχείο είναι μεγαλύτερο από οποιαδήποτε τιμή του συνόλου. Εάν πρόκειται για συνάρτηση, είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε άλλη τιμή της συνάρτησης σε ολόκληρο τον τομέα του συνόλου (το μεγαλύτερο στοιχείο στον κωδικό τομέα). Το συνολικό μέγιστο μιας συνάρτησης ή ενός συνόλου είναι μοναδικό (για τη συγκεκριμένη περίπτωση).
Στην περίπτωση μιας συνάρτησης, στη μέγιστη τιμή η διαβάθμιση της συνάρτησης είναι μηδέν. Η κλίση λίγο πριν από το μέγιστο είναι θετική και αμέσως μετά είναι αρνητική. Αυτό χρησιμοποιείται ως δοκιμή για την εύρεση τοπικών μέγιστων συναρτήσεων (Δοκιμή πρώτης παραγώγου).
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του καθολικού μέγιστου και του τοπικού μέγιστου;
• Το μέγιστο είναι το μεγαλύτερο στοιχείο σε ένα σύνολο ή ένα εύρος μιας συνάρτησης.
• Το συνολικό μέγιστο είναι η μεγαλύτερη τιμή μεταξύ των συνολικών στοιχείων ενός συνόλου ή των τιμών μιας συνάρτησης.
• Το τοπικό μέγιστο είναι το μεγαλύτερο στοιχείο σε ένα υποσύνολο ή ένα δεδομένο εύρος μιας συνάρτησης.
• Το συνολικό μέγιστο είναι μοναδικό ενώ το τοπικό μέγιστο όχι. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα τοπικά μέγιστα. Εάν υπάρχει μόνο ένα τοπικό μέγιστο, τότε είναι το συνολικό μέγιστο.
