Βασική διαφορά – Υπόθεση έναντι Θεωρήματος
Οι θέσεις και τα θεωρήματα είναι δύο κοινοί όροι που χρησιμοποιούνται συχνά στα μαθηματικά. Ένα αξίωμα είναι μια δήλωση που υποτίθεται ότι είναι αληθινή, χωρίς απόδειξη. Ένα θεώρημα είναι μια πρόταση που μπορεί να αποδειχθεί αληθής. Αυτή είναι η βασική διαφορά μεταξύ του αξιώματος και του θεωρήματος. Τα θεωρήματα συχνά βασίζονται σε αξιώματα.
Τι είναι το αξίωμα;
Ένα αξίωμα είναι μια δήλωση που υποτίθεται ότι είναι αληθινή χωρίς καμία απόδειξη. Το αξίωμα ορίζεται από το λεξικό της Οξφόρδης ως «πράγμα που προτείνεται ή θεωρείται ως αληθές ως βάση για συλλογισμό, συζήτηση ή πεποίθηση» και από το λεξικό American Heritage ως «κάτι που υποτίθεται χωρίς απόδειξη ως αυτονόητο ή γενικά αποδεκτό, ειδικά όταν χρησιμοποιείται ως βάση για επιχείρημα».
Αξιώματα είναι επίσης γνωστά ως αξιώματα. Τα αξιώματα δεν χρειάζεται να αποδειχθούν, καθώς είναι εμφανώς σωστά. Για παράδειγμα, η δήλωση ότι δύο σημεία σχηματίζουν μια ευθεία είναι αξίωμα. Τα αξιώματα είναι η βάση από την οποία δημιουργούνται τα θεωρήματα και τα λήμματα. Ένα θεώρημα μπορεί να εξαχθεί από ένα ή περισσότερα αξιώματα.
Δίνονται παρακάτω μερικά βασικά χαρακτηριστικά που έχουν όλα τα αξιώματα:
- Οι θέσεις πρέπει να είναι εύκολα κατανοητές – δεν πρέπει να έχουν πολλές λέξεις που είναι δύσκολο να κατανοηθούν.
- Πρέπει να είναι συνεπείς όταν συνδυάζονται με άλλα αξιώματα.
- Θα πρέπει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιμοποιούνται ανεξάρτητα.
Ωστόσο, ορισμένα αξιώματα - όπως το αξίωμα του Αϊνστάιν ότι το σύμπαν είναι ομοιογενές - δεν είναι πάντα σωστές. Ένα αξίωμα μπορεί να γίνει προφανώς λανθασμένο μετά από μια νέα ανακάλυψη.
Αν το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών α και β είναι μικρότερο από 180°, οι δύο ευθείες, που παράγονται απεριόριστα, συναντώνται σε αυτήν την πλευρά.
Τι είναι ένα Θεώρημα;
Ένα θεώρημα είναι μια πρόταση που μπορεί να αποδειχθεί ως αληθής. Το λεξικό της Οξφόρδης ορίζει το θεώρημα ως μια «γενική πρόταση που δεν είναι αυτονόητη αλλά αποδεικνύεται από μια αλυσίδα συλλογισμών. μια αλήθεια που καθιερώνεται μέσω αποδεκτών αληθειών» και η Merriam-Webster την ορίζει ως «έναν τύπο, πρόταση ή δήλωση στα μαθηματικά ή τη λογική που προκύπτει ή συνάγεται από άλλους τύπους ή προτάσεις».
Τα θεωρήματα μπορούν να αποδειχθούν με λογικό συλλογισμό ή χρησιμοποιώντας άλλα θεωρήματα που έχουν ήδη αποδειχθεί αληθή. Ένα θεώρημα που πρέπει να αποδειχθεί για να αποδειχθεί ένα άλλο θεώρημα ονομάζεται λήμμα. Τόσο τα λήμματα όσο και τα θεωρήματα βασίζονται σε αξιώματα. Ένα θεώρημα έχει συνήθως δύο μέρη γνωστά ως υπόθεση και συμπεράσματα. Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων και το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι μερικά παραδείγματα θεωρημάτων.
Οπτικοποίηση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος
Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο αξίωμα και το θεώρημα;
Ορισμός:
Postulate: Το αξίωμα ορίζεται ως "μια δήλωση που γίνεται αποδεκτή ως αληθής ως βάση για επιχείρημα ή συμπέρασμα."
Θεώρημα: Το θεώρημα ορίζεται ως «η γενική πρόταση που δεν είναι αυτονόητη αλλά αποδεικνύεται από μια αλυσίδα συλλογισμών. μια αλήθεια που εδραιώνεται μέσω αποδεκτών αληθειών».
Απόδειξη:
Postulate: Ένα αξίωμα είναι μια δήλωση που θεωρείται ότι είναι αληθής χωρίς καμία απόδειξη.
Θεώρημα: Το θεώρημα είναι μια πρόταση που μπορεί να αποδειχθεί ως αληθής.
Σχέση:
Αξιοθέτηση: Τα αξιώματα είναι η βάση για θεωρήματα και λήμματα.
Θεώρημα: Τα θεωρήματα βασίζονται σε αξιώματα.
Χρειάζεται απόδειξη:
Αξιοθέτηση: Τα αξιώματα δεν χρειάζεται να αποδειχθούν, αφού δηλώνουν το προφανές.
Θεώρημα: Τα θεωρήματα μπορούν να αποδειχθούν με λογικό συλλογισμό ή χρησιμοποιώντας άλλα θεωρήματα που έχουν αποδειχθεί αληθή.
