Υποσύνολα vs Κατάλληλα υποσύνολα
Είναι πολύ φυσικό να συνειδητοποιούμε τον κόσμο μέσω της κατηγοριοποίησης των πραγμάτων σε ομάδες. Αυτή είναι η βάση της μαθηματικής έννοιας που ονομάζεται «Θεωρία Συνόλων». Η θεωρία συνόλων αναπτύχθηκε στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, και τώρα, είναι πανταχού παρούσα στα μαθηματικά. Σχεδόν όλα τα μαθηματικά μπορούν να εξαχθούν χρησιμοποιώντας τη θεωρία συνόλων ως θεμέλιο. Η εφαρμογή της θεωρίας συνόλων εκτείνεται από τα αφηρημένα μαθηματικά σε όλα τα θέματα στον απτό φυσικό κόσμο.
Υποσύνολο και Σωστό υποσύνολο είναι δύο ορολογίες που χρησιμοποιούνται συχνά στη Θεωρία Συνόλων για την εισαγωγή σχέσεων μεταξύ συνόλων.
Αν κάθε στοιχείο σε ένα σύνολο Α είναι επίσης μέλος ενός συνόλου Β, τότε το σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο του Β. Αυτό μπορεί επίσης να διαβαστεί ως "Το Α περιέχεται στο Β". Πιο τυπικά, το A είναι ένα υποσύνολο του B, που συμβολίζεται με A⊆B αν το x∈A υποδηλώνει x∈B.
Κάθε σύνολο είναι ένα υποσύνολο του ίδιου συνόλου, γιατί, προφανώς, κάθε στοιχείο που βρίσκεται σε ένα σύνολο θα είναι επίσης στο ίδιο σύνολο. Λέμε «Το Α είναι ένα σωστό υποσύνολο του Β» εάν, το Α είναι ένα υποσύνολο του Β αλλά το Α δεν είναι ίσο με το Β. Για να δηλώσουμε ότι το Α είναι ένα σωστό υποσύνολο του Β χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό A⊂B. Για παράδειγμα, το σύνολο {1, 2} έχει 4 υποσύνολα, αλλά μόνο 3 σωστά υποσύνολα. Επειδή το {1, 2} είναι ένα υποσύνολο αλλά όχι ένα σωστό υποσύνολο του {1, 2}.
Αν ένα σύνολο είναι σωστό υποσύνολο ενός άλλου συνόλου, είναι πάντα ένα υποσύνολο αυτού του συνόλου, (δηλαδή, εάν το Α είναι σωστό υποσύνολο του Β, σημαίνει ότι το Α είναι υποσύνολο του Β). Αλλά μπορεί να υπάρχουν υποσύνολα, τα οποία δεν είναι κατάλληλα υποσύνολα του υπερσυνόλου τους. Αν δύο σύνολα είναι ίσα, τότε είναι υποσύνολα το ένα του άλλου, αλλά όχι το κατάλληλο υποσύνολο το ένα του άλλου.
Συνοπτικά:
– Εάν το Α είναι υποσύνολο του Β, τότε το Α και το Β μπορούν να είναι ίσα.
– Εάν το A είναι ένα σωστό υποσύνολο του B, τότε το A δεν μπορεί να είναι ίσο με το B.
