Εξαρτημένο εναντίον Ανεξάρτητων Γεγονότων
Στην καθημερινή μας ζωή, συναντάμε γεγονότα με αβεβαιότητα. Για παράδειγμα, μια πιθανότητα να κερδίσετε μια λαχειοφόρο αγορά που αγοράζετε ή μια πιθανότητα να πάρετε τη δουλειά που υποβάλατε αίτηση. Η θεμελιώδης θεωρία των πιθανοτήτων χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει μαθηματικά την πιθανότητα να συμβεί κάτι. Η πιθανότητα συνδέεται πάντα με τυχαία πειράματα. Ένα πείραμα με πολλά πιθανά αποτελέσματα λέγεται ότι είναι ένα τυχαίο πείραμα, εάν το αποτέλεσμα σε οποιαδήποτε μεμονωμένη δοκιμή δεν μπορεί να προβλεφθεί εκ των προτέρων. Τα εξαρτημένα και ανεξάρτητα συμβάντα είναι όροι που χρησιμοποιούνται στη θεωρία πιθανοτήτων.
Ένα συμβάν Β λέγεται ότι είναι ανεξάρτητο από ένα γεγονός Α, εάν η πιθανότητα να συμβεί το Β δεν επηρεάζεται από το αν το Α έχει συμβεί ή όχι. Απλώς, δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα εάν η έκβαση του ενός δεν επηρεάζει την πιθανότητα εμφάνισης του άλλου γεγονότος. Με άλλα λόγια, το B είναι ανεξάρτητο από το A, εάν P(B)=P(B|A). Ομοίως, το Α είναι ανεξάρτητο του Β, αν P(A)=P(A|B). Εδώ, το P(A|B) υποδηλώνει την υπό όρους πιθανότητα A, υποθέτοντας ότι το B έχει συμβεί. Αν σκεφτούμε την ρίψη δύο ζαριών, ένας αριθμός που εμφανίζεται στο ένα ζάρι δεν έχει καμία επίδραση σε αυτό που προέκυψε στο άλλο ζάρι.
Για οποιαδήποτε δύο συμβάντα A και B σε ένα δείγμα κενού S; η υπό όρους πιθανότητα του A, δεδομένου ότι έχει συμβεί το B είναι P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Έτσι, εάν το γεγονός Α είναι ανεξάρτητο από το γεγονός Β, τότε το P(A)=P(A|B) σημαίνει ότι P(A∩B)=P(A) x P(B). Ομοίως, αν P(B)=P(B|A), τότε ισχύει P(A∩B)=P(A) x P(B). Ως εκ τούτου, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα δύο γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα, αν και μόνο αν ισχύει η συνθήκη P(A∩B)=P(A) x P(B).
Ας υποθέσουμε ότι ρίχνουμε ένα ζάρι και πετάμε ένα νόμισμα ταυτόχρονα. Τότε το σύνολο όλων των πιθανών αποτελεσμάτων ή ο χώρος του δείγματος είναι S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, Τ), (2, Τ), (3, Τ), (4, Τ), (5, Τ), (6, Τ)}. Έστω το γεγονός Α το γεγονός της λήψης κεφαλών, τότε η πιθανότητα του γεγονότος A, P(A) είναι 6/12 ή 1/2, και έστω Β είναι το γεγονός να ληφθεί πολλαπλάσιο του τριών στο ζάρι. Τότε P(B)=4/12=1/3. Οποιοδήποτε από αυτά τα δύο γεγονότα δεν έχει καμία επίδραση στην εμφάνιση του άλλου συμβάντος. Επομένως, αυτά τα δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Δεδομένου ότι το σύνολο (A∩B)={(3, H), (6, H)}, η πιθανότητα ένα συμβάν να λάβει κεφαλές και πολλαπλάσιο του τριών στο ζάρι, δηλαδή P(A∩B) είναι 2/12 ή 1/6. Ο πολλαπλασιασμός P (A) x P(B) είναι επίσης ίσος με 1/6. Εφόσον, τα δύο γεγονότα Α και Β έχουν την συνθήκη, μπορούμε να πούμε ότι το Α και το Β είναι ανεξάρτητα γεγονότα.
Αν το αποτέλεσμα ενός συμβάντος επηρεάζεται από το αποτέλεσμα του άλλου συμβάντος, τότε το συμβάν λέγεται ότι εξαρτάται.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια τσάντα που περιέχει 3 κόκκινες μπάλες, 2 άσπρες μπάλες και 2 πράσινες μπάλες. Η πιθανότητα να σχεδιάσετε μια λευκή μπάλα τυχαία είναι 2/7. Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε μια πράσινη μπάλα; Είναι 2/7;
Αν είχαμε τραβήξει τη δεύτερη μπάλα μετά την αντικατάσταση της πρώτης μπάλας, αυτή η πιθανότητα θα είναι 2/7. Ωστόσο, αν δεν αντικαταστήσουμε την πρώτη μπάλα που έχουμε βγάλει, τότε έχουμε μόνο έξι μπάλες στο σάκο, οπότε η πιθανότητα να τραβήξουμε μια πράσινη μπάλα είναι τώρα 2/6 ή 1/3. Επομένως, το δεύτερο συμβάν εξαρτάται, αφού το πρώτο συμβάν έχει επίδραση στο δεύτερο συμβάν.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του εξαρτημένου συμβάντος και του ανεξάρτητου συμβάντος;
