Εξίσωση Διαφοράς vs Διαφορική Εξίσωση
Ένα φυσικό φαινόμενο μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά από συναρτήσεις ενός αριθμού ανεξάρτητων μεταβλητών και παραμέτρων. Ειδικά όταν εκφράζονται με συνάρτηση χωρικής θέσης και χρόνου προκύπτει εξισώσεις. Η συνάρτηση μπορεί να αλλάξει με την αλλαγή στις ανεξάρτητες μεταβλητές ή τις παραμέτρους. Μια απειροελάχιστη αλλαγή που συμβαίνει στη συνάρτηση όταν αλλάζει μία από τις μεταβλητές της ονομάζεται παράγωγος αυτής της συνάρτησης.
Διαφορική εξίσωση είναι κάθε εξίσωση που περιέχει παραγώγους μιας συνάρτησης καθώς και την ίδια τη συνάρτηση. Μια απλή διαφορική εξίσωση είναι αυτή του δεύτερου νόμου της κίνησης του Νεύτωνα. Εάν ένα αντικείμενο μάζας m κινείται με επιτάχυνση «a» και ασκείται με δύναμη F, τότε ο Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα μας λέει ότι F=ma. Και εδώ, το «α» ποικίλλει με το χρόνο, μπορούμε να ξαναγράψουμε το «α» ως. a=dv/dt; v είναι η ταχύτητα. Η ταχύτητα είναι συνάρτηση του χώρου και του χρόνου, δηλαδή v=ds/dt. επομένως 'a'=d2s/dt2
Έχοντας αυτά υπόψη, μπορούμε να ξαναγράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ως διαφορική εξίσωση.
«F» ως συνάρτηση των v και t – F(v, t)=mdv/dt, ή
'F' ως συνάρτηση των s και t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Υπάρχουν δύο τύποι διαφορικών εξισώσεων. συνηθισμένη διαφορική εξίσωση, συντομευμένη από ODE ή μερική διαφορική εξίσωση, συντομογραφία PDE. Η συνηθισμένη διαφορική εξίσωση θα έχει συνηθισμένες παραγώγους (παράγωγα μόνο μιας μεταβλητής). Η μερική διαφορική εξίσωση θα έχει διαφορικές παραγώγους (παράγωγα περισσότερων από μία μεταβλητών).
π.χ. F=m d2s/dt2 είναι ODE, ενώ α2 d 2u/dx2=το du/dt είναι PDE, έχει παράγωγα του t και του x.
Η εξίσωση διαφοράς είναι ίδια με τη διαφορική εξίσωση, αλλά την εξετάζουμε σε διαφορετικό πλαίσιο. Στις διαφορικές εξισώσεις, η ανεξάρτητη μεταβλητή όπως ο χρόνος εξετάζεται στο πλαίσιο του συστήματος συνεχούς χρόνου. Στο σύστημα διακριτού χρόνου, ονομάζουμε τη συνάρτηση ως εξίσωση διαφοράς.
Η εξίσωση διαφοράς είναι συνάρτηση διαφορών. Οι διαφορές στις ανεξάρτητες μεταβλητές είναι τριών ειδών. ακολουθία αριθμών, διακριτό δυναμικό σύστημα και επαναλαμβανόμενη συνάρτηση.
Σε ακολουθία αριθμών, η αλλαγή δημιουργείται αναδρομικά χρησιμοποιώντας έναν κανόνα για να συσχετίσει κάθε αριθμό στην ακολουθία με προηγούμενους αριθμούς της ακολουθίας.
Η εξίσωση διαφοράς σε ένα διακριτό δυναμικό σύστημα παίρνει κάποιο διακριτό σήμα εισόδου και παράγει σήμα εξόδου.
Η εξίσωση διαφοράς είναι ένας επαναλαμβανόμενος χάρτης για επαναλαμβανόμενη συνάρτηση. Π.χ., y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….είναι η ακολουθία μιας επαναλαμβανόμενης συνάρτησης. Το f(y0) είναι η πρώτη επανάληψη του y0 Η k-η επανάληψη θα συμβολίζεται με fk (y0).
