Διαφορά μεταξύ Bernoulli και Binomial

2024 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 13:36

Bernoulli vs Binomial

Πολύ συχνά στην πραγματική ζωή, συναντάμε γεγονότα, τα οποία έχουν μόνο δύο αποτελέσματα που έχουν σημασία. Για παράδειγμα, είτε περάσαμε σε μια συνέντευξη για δουλειά που αντιμετωπίσαμε είτε αποτύχουμε σε αυτή τη συνέντευξη, είτε η πτήση μας αναχωρεί στην ώρα της είτε καθυστερεί. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, μπορούμε να εφαρμόσουμε την έννοια της πιθανότητας «δοκιμές Bernoulli».

Μπερνούλι

Ένα τυχαίο πείραμα με μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα με πιθανότητα p και q. όπου p+q=1, ονομάζεται Δοκιμές Bernoulli προς τιμήν του James Bernoulli (1654-1705). Συνήθως τα δύο αποτελέσματα του πειράματος λέγονται «Επιτυχία» ή «Αποτυχία».

Για παράδειγμα, αν σκεφτούμε να πετάξουμε ένα κέρμα, υπάρχουν δύο πιθανά αποτελέσματα, τα οποία λέγεται ότι είναι «κεφάλι» ή «ουρά». Αν μας ενδιαφέρει το κεφάλι να πέσει? η πιθανότητα επιτυχίας είναι 1/2, η οποία μπορεί να συμβολιστεί ως P (επιτυχία)=1/2, και η πιθανότητα αποτυχίας είναι 1/2. Ομοίως, όταν ρίχνουμε δύο ζάρια, αν μας ενδιαφέρει μόνο το άθροισμα δύο ζαριών να είναι 8, P (Επιτυχία)=5/36 και P (αποτυχία)=1- 5/36=31/36.

Μια διαδικασία Bernoulli είναι μια ανεξάρτητη εμφάνιση μιας ακολουθίας δοκιμών Bernoulli. Επομένως, η πιθανότητα επιτυχίας παραμένει ίδια για κάθε δοκιμή. Επιπλέον, για κάθε δοκιμή η πιθανότητα αποτυχίας είναι 1-P(επιτυχία).

Δεδομένου ότι τα μεμονωμένα μονοπάτια είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα ενός συμβάντος σε μια διαδικασία Bernoulli μπορεί να υπολογιστεί λαμβάνοντας το γινόμενο των πιθανοτήτων επιτυχίας και αποτυχίας. Για παράδειγμα, εάν η πιθανότητα επιτυχίας [P(S)] συμβολίζεται με p και η πιθανότητα αποτυχίας [P (F)] συμβολίζεται με q. τότε P(SSSF)=p³q και P(FFSS)=p²q²

Διώνυμο

Οι δοκιμές Bernoulli οδηγούν σε διωνυμική κατανομή. Στις περισσότερες περιπτώσεις, οι άνθρωποι μπερδεύονται με τους δύο όρους «Bernoulli» και «Binomial». Η διωνυμική κατανομή είναι ένα άθροισμα ανεξάρτητων και ομοιόμορφα κατανεμημένων δοκιμών Bernoulli. Η διωνυμική κατανομή συμβολίζεται με τον συμβολισμό b(k;n, p); b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k, όπου το C(n, k) είναι γνωστό ως ο διωνυμικός συντελεστής. Ο διωνυμικός συντελεστής C(n, k) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο n!/k!(n-k)!.}

Για παράδειγμα, εάν μια στιγμιαία λαχειοφόρος αγορά με 25% κερδισμένα δελτία πωληθεί μεταξύ 10 ατόμων, η πιθανότητα αγοράς ενός κερδισμένου δελτίου είναι b(1;10, 0.25)=C(10, 1)(0.25)(0,75)^{9 ≈ 9 x 0,25 x 0,075 ≈ 0,169}

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Bernoulli και Binomial;

• Η δοκιμή Bernoulli είναι ένα τυχαίο πείραμα με μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα.
• Το διωνυμικό πείραμα είναι μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli που εκτελούνται ανεξάρτητα.