Η βασική διαφορά μεταξύ της Λαγκραντζιανής και της Χαμιλτονικής μηχανικής είναι ότι η μηχανική του Λαγκράντζ περιγράφει τη διαφορά μεταξύ κινητικής και δυνητικής ενέργειας, ενώ η μηχανική του Χαμιλτονίου περιγράφει το άθροισμα κινητικών και δυνητικών ενεργειών.
Η μηχανική του Λαγκρανζ και η μηχανική του Χαμιλτονίου είναι σημαντικές έννοιες στη φυσική χημεία που εμπίπτουν στην κλασική μηχανική. Η μηχανική του Λαγκράντζ αναπτύχθηκε από τον Ιταλό μαθηματικό Joseph-Louis Lagrange το 1788, ενώ η μηχανική του Χαμιλτονίου αναπτύχθηκε από τον William Rowan Hamilton το 1833.
Τι είναι η Μηχανική του Λαγκρανζ;
Η Η μηχανική του Λαγκρανζ μπορεί να οριστεί ως μια αναδιατύπωση της κλασικής μηχανικής που εισήχθη από τον Ιταλό μαθηματικό που ονομάζεται Joseph-Louis Lagrange το 1788. Σε αυτή τη χημική έννοια, η τροχιά ενός φυσικού συστήματος που περιέχει σωματίδια προκύπτει μέσω της επίλυσης των εξισώσεων Lagrange σε μία από τις δύο μορφές: τις εξισώσεις Lagrange του πρώτου είδους και τις εξισώσεις Lagrange του δεύτερου είδους.
Το πρώτο είδος εξισώσεων Lagrange αντιμετωπίζει τους περιορισμούς ρητά ως επιπλέον εξισώσεις χρησιμοποιώντας πολλαπλασιαστές Lagrange, ενώ το δεύτερο είδος εξισώσεων Lagrange ενσωματώνει τους περιορισμούς απευθείας μέσω της συνετής επιλογής γενικευμένων συντεταγμένων. Ωστόσο, σε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο τύπους, μια μαθηματική συνάρτηση που ονομάζεται Lagrangian αναφέρεται ως συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων, των χρονικών τους παραγώγων και του χρόνου. Επιπλέον, αυτή η ιδέα περιέχει πληροφορίες σχετικά με τη δυναμική του συστήματος.
Εικόνα 01: Joseph-Louis Lagrange
Η μηχανική του Λαγκρανζ είναι μια μαθηματικά πιο εξελιγμένη και συστηματική χημική έννοια. Δεν έχουν εισαχθεί απαραιτήτως νέες έννοιες της φυσικής για την εφαρμογή της μηχανικής του Λαγκρανγκ σε σύγκριση με τη Νευτώνεια μηχανική. Ωστόσο, η μηχανική του Λαγκραντζή είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση μηχανικών προβλημάτων στη φυσική όταν οι διατυπώσεις του Νεύτωνα για την κλασική μηχανική δεν είναι βολικές.
Τι είναι η Μηχανική του Χαμιλτονίου;
Η Η μηχανική του Χαμιλτονίου είναι μια μαθηματικά εξελιγμένη διατύπωση της κλασικής μηχανικής. Αυτή η χημική έννοια συμβάλλει στη διαμόρφωση της στατιστικής μηχανικής και της κβαντικής μηχανικής. Αυτή η ιδέα αναπτύχθηκε από τον William Rowan Hamilton το 1833. Την ανέπτυξε ξεκινώντας από τη μηχανική του Λαγκρανζ. Επιπλέον, η μηχανική του Χαμιλτονίου είναι ισοδύναμη με τους νόμους της κίνησης του Νεύτωνα στους περιορισμούς της κλασικής μηχανικής.
Εικόνα 02: Sir William Hamilton
Στη Χαμιλτονική μηχανική, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα σύνολο κανονικών συντεταγμένων για την περιγραφή των κλασικών φυσικών συστημάτων: r=(q, p). καθεμία από τις συντεταγμένες αυτών των στοιχείων qi, pi είναι ευρετηριασμένη στο πλαίσιο αναφοράς αυτού του φυσικού συστήματος. Οι συντεταγμένες qi ονομάζονται ως γενικευμένες συντεταγμένες, ενώ η pi ονομάζεται ως συζευγμένη ροπή τους.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της Λαγκραντζιανής και της Χαμιλτονικής Μηχανικής;
Η μηχανική του Λαγκρανζ και η μηχανική του Χαμιλτονίου είναι σημαντικές έννοιες στη φυσική χημεία που εμπίπτουν στην κλασική μηχανική. Η Λαγκραντζιανή μηχανική αναπτύχθηκε από τον Ιταλό μαθηματικό Joseph-Louis Lagrange το 1788, ενώ η Χαμιλτονική μηχανική αναπτύχθηκε από τον William Rowan Hamilton το 1833. Η βασική διαφορά μεταξύ της Λαγκραντζιανής και της Χαμιλτονικής μηχανικής είναι ότι η Λαγκραντζιανή μηχανική περιγράφει τη διαφορά μεταξύ κινητικής και δυνητικής ενέργειας. Η μηχανική του Χαμιλτονίου περιγράφει το άθροισμα της κινητικής και της δυνητικής ενέργειας. Επιπλέον, η μηχανική του Λαγκραντζή χρησιμοποιεί καρτεσιανές συντεταγμένες στους υπολογισμούς, ενώ η μηχανική του Χαμιλτονίου χρησιμοποιεί κανονικές συντεταγμένες.
Ακολουθεί μια σύνοψη της διαφοράς μεταξύ της Λαγκραντζιανής και της Χαμιλτονικής μηχανικής σε μορφή πίνακα.
Σύνοψη – Lagrangian vs Hamiltonian Mechanics
Η Η μηχανική του Λαγκρανζ μπορεί να οριστεί ως αναδιατύπωση της κλασικής μηχανικής. Η Χαμιλτονική μηχανική είναι μια μαθηματικά εξελιγμένη διατύπωση της κλασικής μηχανικής. Η βασική διαφορά μεταξύ της Λαγκραντζιανής και της Χαμιλτονιανής μηχανικής είναι ότι η μηχανική του Λαγκράντζ περιγράφει τη διαφορά μεταξύ κινητικής και δυνητικής ενέργειας, ενώ η μηχανική του Χαμιλτονίου περιγράφει το άθροισμα των κινητικών και δυνητικών ενεργειών.
