Σειρά Fourier εναντίον Μετασχηματισμού Fourier
Η σειρά Fourier αποσυνθέτει μια περιοδική συνάρτηση σε ένα άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων με διαφορετικές συχνότητες και πλάτη. Η σειρά Fourier είναι ένας κλάδος της ανάλυσης Fourier και εισήχθη από τον Joseph Fourier. Ο μετασχηματισμός Fourier είναι μια μαθηματική πράξη που διασπά ένα σήμα στις συχνότητες που το αποτελούν. Το αρχικό σήμα που άλλαξε με την πάροδο του χρόνου ονομάζεται αναπαράσταση πεδίου χρόνου του σήματος. Ο μετασχηματισμός Fourier ονομάζεται αναπαράσταση πεδίου συχνότητας ενός σήματος αφού εξαρτάται από τη συχνότητα. Τόσο η αναπαράσταση πεδίου συχνότητας ενός σήματος όσο και η διαδικασία που χρησιμοποιείται για τη μετατροπή αυτού του σήματος στον τομέα συχνότητας αναφέρονται ως μετασχηματισμός Fourier.
Τι είναι η σειρά Fourier;
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η σειρά Fourier είναι μια επέκταση μιας περιοδικής συνάρτησης που χρησιμοποιεί άπειρο άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων. Η σειρά Fourier αναπτύχθηκε αρχικά κατά την επίλυση εξισώσεων θερμότητας, αλλά αργότερα διαπιστώθηκε ότι η ίδια τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός μεγάλου συνόλου μαθηματικών προβλημάτων, ειδικά των προβλημάτων που περιλαμβάνουν γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Πλέον, η σειρά Fourier έχει εφαρμογές σε μεγάλο αριθμό πεδίων, όπως η ηλεκτρική μηχανική, η ανάλυση κραδασμών, η ακουστική, η οπτική, η επεξεργασία σήματος, η επεξεργασία εικόνας, η κβαντική μηχανική και η οικονομετρία. Οι σειρές Fourier χρησιμοποιούν τις σχέσεις ορθογωνικότητας συναρτήσεων ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς. Ο υπολογισμός και η μελέτη των σειρών Fourier είναι γνωστή ως αρμονική ανάλυση και είναι πολύ χρήσιμη όταν εργάζεστε με αυθαίρετες περιοδικές συναρτήσεις, καθώς επιτρέπει τη διάσπαση της συνάρτησης σε απλούς όρους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθεί μια λύση στο αρχικό πρόβλημα.
Τι είναι ο μετασχηματισμός Fourier;
Ο μετασχηματισμός Fourier ορίζει μια σχέση μεταξύ ενός σήματος στον τομέα του χρόνου και της αναπαράστασής του στον τομέα συχνότητας. Ο μετασχηματισμός Fourier αποσυνθέτει μια συνάρτηση σε συναρτήσεις ταλάντωσης. Δεδομένου ότι πρόκειται για μετασχηματισμό, το αρχικό σήμα μπορεί να ληφθεί από τη γνώση του μετασχηματισμού, επομένως καμία πληροφορία δεν δημιουργείται ή χάνεται στη διαδικασία. Η μελέτη της σειράς Fourier παρέχει στην πραγματικότητα κίνητρο για τον μετασχηματισμό Fourier. Λόγω των ιδιοτήτων των ημιτόνων και των συνημιτόνων είναι δυνατό να ανακτηθεί η ποσότητα κάθε κύματος που συνεισφέρει στο άθροισμα χρησιμοποιώντας ένα ολοκλήρωμα. Ο μετασχηματισμός Fourier έχει κάποιες βασικές ιδιότητες όπως γραμμικότητα, μετάφραση, διαμόρφωση, κλιμάκωση, σύζευξη, δυαδικότητα και συνέλιξη. Ο μετασχηματισμός Fourier εφαρμόζεται στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων αφού ο μετασχηματισμός Fourier σχετίζεται στενά με τον μετασχηματισμό Laplace. Ο μετασχηματισμός Fourier χρησιμοποιείται επίσης στον πυρηνικό μαγνητικό συντονισμό (NMR) και σε άλλα είδη φασματοσκοπίας.
Διαφορά μεταξύ της σειράς Fourier και του μετασχηματισμού Fourier
Η σειρά Fourier είναι μια επέκταση του περιοδικού σήματος ως γραμμικός συνδυασμός ημιτόνων και συνημιτόνων, ενώ ο μετασχηματισμός Fourier είναι η διαδικασία ή η συνάρτηση που χρησιμοποιείται για τη μετατροπή σημάτων από τομέα χρόνου σε τομέα συχνότητας. Η σειρά Fourier ορίζεται για περιοδικά σήματα και ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να εφαρμοστεί σε απεριοδικά (που συμβαίνουν χωρίς περιοδικότητα) σήματα. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η μελέτη των σειρών Fourier παρέχει στην πραγματικότητα κίνητρο για τον μετασχηματισμό Fourier.
