Ορισμένα έναντι Αόριστων Ολοκληρωμάτων
Ο λογισμός είναι ένας σημαντικός κλάδος των μαθηματικών και η διαφοροποίηση παίζει κρίσιμο ρόλο στον λογισμό. Η αντίστροφη διαδικασία της διαφοροποίησης είναι γνωστή ως ολοκλήρωση και η αντίστροφη είναι γνωστή ως ολοκλήρωμα, ή απλά, το αντίστροφο της διαφοροποίησης δίνει ένα ολοκλήρωμα. Με βάση τα αποτελέσματα που παράγουν τα ολοκληρώματα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. οριστικά και αόριστα ολοκληρώματα.
Περισσότερα για τα Αόριστα Ολοκληρώματα
Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι περισσότερο μια γενική μορφή ολοκλήρωσης και μπορεί να ερμηνευθεί ως το αντί-παράγωγο της εξεταζόμενης συνάρτησης. Ας υποθέσουμε ότι η διαφοροποίηση του F δίνει f και η ολοκλήρωση του f δίνει το ολοκλήρωμα. Συχνά γράφεται ως F(x)=∫ƒ(x)dx ή F=∫ƒ dx όπου τόσο το F όσο και το ƒ είναι συναρτήσεις του x και το F είναι διαφοροποιήσιμο. Στην παραπάνω μορφή, ονομάζεται ολοκλήρωμα Reimann και η συνάρτηση που προκύπτει συνοδεύει μια αυθαίρετη σταθερά. Ένα αόριστο ολοκλήρωμα παράγει συχνά μια οικογένεια συναρτήσεων. επομένως, το ολοκλήρωμα είναι αόριστο.
Τα ολοκληρώματα και η διαδικασία ολοκλήρωσης βρίσκονται στον πυρήνα της επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Ωστόσο, σε αντίθεση με τη διαφοροποίηση, η ολοκλήρωση δεν ακολουθεί πάντα μια σαφή και τυπική ρουτίνα. Μερικές φορές, η λύση δεν μπορεί να εκφραστεί ρητά με όρους στοιχειώδους συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση, η αναλυτική λύση δίνεται συχνά με τη μορφή αόριστου ολοκληρώματος.
Περισσότερα για τα Ορισμένα Ολοκληρώματα
Ορισμένα ολοκληρώματα είναι τα πολύτιμα αντίστοιχα των αόριστων ολοκληρωμάτων όπου η διαδικασία ολοκλήρωσης παράγει πραγματικά έναν πεπερασμένο αριθμό. Μπορεί να οριστεί γραφικά ως η περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη της συνάρτησης ƒ μέσα σε ένα δεδομένο διάστημα. Κάθε φορά που η ολοκλήρωση εκτελείται εντός ενός δεδομένου διαστήματος της ανεξάρτητης μεταβλητής, η ολοκλήρωση παράγει μια καθορισμένη τιμή που συχνά γράφεται ως a∫bƒ(x) dx ή a∫b ƒdx.
Τα αόριστα ολοκληρώματα και τα οριστικά ολοκληρώματα συνδέονται μεταξύ τους μέσω του πρώτου θεμελιώδους θεωρήματος του λογισμού, και αυτό επιτρέπει τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τα αόριστα ολοκληρώματα. Το θεώρημα δηλώνει a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) όπου και οι δύο F και ƒ είναι συναρτήσεις του x, και Η F είναι διαφοροποιήσιμη στο διάστημα (a, b). Λαμβάνοντας υπόψη το διάστημα, το a και το b είναι γνωστά ως το κατώτερο όριο και το ανώτερο όριο αντίστοιχα.
Αντί να σταματήσει μόνο με πραγματικές συναρτήσεις, η ολοκλήρωση μπορεί να επεκταθεί σε μιγαδικές συναρτήσεις και αυτά τα ολοκληρώματα ονομάζονται ολοκληρώματα περιγράμματος, όπου το ƒ είναι συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ορισμένων και αόριστων ολοκληρωμάτων;
Τα αόριστα ολοκληρώματα αντιπροσωπεύουν το αντι-παράγωγο μιας συνάρτησης και συχνά, μια οικογένεια συναρτήσεων παρά μια οριστική λύση. Στα οριστικά ολοκληρώματα, η ολοκλήρωση δίνει έναν πεπερασμένο αριθμό.
Τα αόριστα ολοκληρώματα συσχετίζουν μια αυθαίρετη μεταβλητή (εξ ου και η οικογένεια των συναρτήσεων) και τα οριστικά ολοκληρώματα δεν έχουν μια αυθαίρετη σταθερά, αλλά ένα ανώτερο όριο και ένα κατώτερο όριο ολοκλήρωσης.
Αόριστο ολοκλήρωμα δίνει συνήθως μια γενική λύση στη διαφορική εξίσωση.
