Διαφορά μεταξύ ολοκλήρωσης και άθροισης

2024 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 13:36

Ολοκλήρωση εναντίον άθροισης

Στα μαθηματικά πάνω από το γυμνάσιο, η ολοκλήρωση και η άθροιση βρίσκονται συχνά σε μαθηματικές πράξεις. Φαινομενικά χρησιμοποιούνται ως διαφορετικά εργαλεία και σε διαφορετικές καταστάσεις, αλλά μοιράζονται μια πολύ στενή σχέση.

Περισσότερα για το Sumation

Άθροιση είναι η πράξη πρόσθεσης μιας ακολουθίας αριθμών και η πράξη συχνά συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα του κεφαλαίου σίγμα Σ. Χρησιμοποιείται για να συντομεύσει το άθροισμα και ίσο με το άθροισμα/σύνολο της ακολουθίας. Συχνά χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν τις σειρές, οι οποίες ουσιαστικά είναι άπειρες ακολουθίες που συνοψίζονται. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να υποδείξουν το άθροισμα διανυσμάτων, πινάκων ή πολυωνύμων.

Η άθροιση γίνεται συνήθως για ένα εύρος τιμών που μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν γενικό όρο, όπως μια σειρά που έχει έναν κοινό όρο. Το σημείο έναρξης και το τελικό σημείο της άθροισης είναι γνωστά ως το κάτω όριο και το άνω όριο του αθροίσματος, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, το άθροισμα της ακολουθίας a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n είναι ένα₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n που μπορεί εύκολα να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό άθροισης ως ∑ _i=1 a_{i; i ονομάζεται δείκτης άθροισης.}

Πολλές παραλλαγές χρησιμοποιούνται για την άθροιση με βάση την εφαρμογή. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το άνω και το κάτω όριο μπορούν να δοθούν ως διάστημα ή ως εύρος, όπως ∑_1≤i≤100 a_i και ∑_{i∈[1, 100]} a_i Ή μπορεί να δοθεί ως σύνολο αριθμών όπως ∑_i∈P a_{i, όπου το P είναι ένα καθορισμένο σύνολο.}

Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο ή περισσότερα σημάδια σίγμα, αλλά μπορούν να γενικευθούν ως εξής. ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Επίσης, η άθροιση ακολουθεί πολλούς αλγεβρικούς κανόνες. Εφόσον η ενσωματωμένη πράξη είναι η πρόσθεση, πολλοί από τους κοινούς κανόνες της άλγεβρας μπορούν να εφαρμοστούν στα ίδια τα αθροίσματα και για τους μεμονωμένους όρους που απεικονίζονται από το άθροισμα.

Περισσότερα για την Ενσωμάτωση

Η ολοκλήρωση ορίζεται ως η αντίστροφη διαδικασία διαφοροποίησης. Αλλά στη γεωμετρική του όψη μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως η περιοχή που περικλείεται από την καμπύλη της συνάρτησης και του άξονα. Επομένως, ο υπολογισμός του εμβαδού δίνει την τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος όπως φαίνεται στο διάγραμμα.

Πηγή εικόνας:

Η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος είναι στην πραγματικότητα το άθροισμα των μικρών λωρίδων μέσα στην καμπύλη και τον άξονα. Το εμβαδόν κάθε λωρίδας είναι το ύψος×πλάτος στο σημείο του εξεταζόμενου άξονα. Το πλάτος είναι μια τιμή που μπορούμε να επιλέξουμε, ας πούμε Δx. Και το ύψος είναι περίπου η τιμή της συνάρτησης στο εξεταζόμενο σημείο, ας πούμε f (x_{i). Από το διάγραμμα, είναι προφανές ότι όσο μικρότερες είναι οι λωρίδες καλύτερα οι λωρίδες ταιριάζουν μέσα στην οριοθετημένη περιοχή, επομένως καλύτερη προσέγγιση της τιμής.}

Έτσι, γενικά το οριστικό ολοκλήρωμα I, μεταξύ των σημείων a και b (δηλαδή στο διάστημα [a, b] όπου a<b), μπορεί να δοθεί ως I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, όπου n είναι ο αριθμός των λωρίδων (n=(b-a)/∆x). Αυτό το άθροισμα της περιοχής μπορεί εύκολα να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό άθροισης ως I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Δεδομένου ότι η προσέγγιση είναι καλύτερη όταν το Δx είναι μικρότερο, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή όταν Δx→0. Επομένως, είναι λογικό να πούμε I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Σαν γενίκευση από την παραπάνω έννοια, μπορούμε να επιλέξουμε το Δx με βάση το εξεταζόμενο διάστημα που ευρετηριάζεται από το i (επιλέγοντας το πλάτος της περιοχής με βάση τη θέση). Τότε παίρνουμε

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Αυτό είναι γνωστό ως ολοκλήρωμα Reimann της συνάρτησης f (x) στο διάστημα [a, b]. Σε αυτή την περίπτωση τα α και β είναι γνωστά ως άνω και κάτω φράγμα του ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα Reimann είναι μια βασική μορφή όλων των μεθόδων ολοκλήρωσης.

Ουσιαστικά, η ολοκλήρωση είναι το άθροισμα του εμβαδού όταν το πλάτος του ορθογωνίου είναι απειροελάχιστο.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της ολοκλήρωσης και της άθροισης;

• Η άθροιση είναι το άθροισμα μιας ακολουθίας αριθμών. Συνήθως, η άθροιση δίνεται με αυτή τη μορφή ∑_i=1 a_{i όταν οι όροι στην ακολουθία έχουν ένα μοτίβο και μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας έναν γενικό όρο.}

• Ολοκλήρωση είναι βασικά η περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη της συνάρτησης, τον άξονα και τα άνω και κάτω όρια. Αυτή η περιοχή μπορεί να δοθεί ως το άθροισμα πολύ μικρότερων περιοχών που περιλαμβάνονται στην οριοθετημένη περιοχή.

• Η άθροιση περιλαμβάνει τις διακριτές τιμές με τα άνω και κάτω όρια, ενώ η ολοκλήρωση περιλαμβάνει συνεχείς τιμές.

• Η ολοκλήρωση μπορεί να ερμηνευτεί ως ειδική μορφή άθροισης.

• Στις μεθόδους αριθμητικού υπολογισμού, η ολοκλήρωση εκτελείται πάντα ως άθροισμα.