Διαφορά μεταξύ λογαριθμικού και εκθετικού

2024 Συγγραφέας: Alex Aldridge | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 13:36

Λογαριθμική εναντίον Εκθετικής | εκθετική συνάρτηση έναντι λογαριθμικής συνάρτησης

Οι συναρτήσεις είναι μια από τις πιο σημαντικές κατηγορίες μαθηματικών αντικειμένων, που χρησιμοποιούνται ευρέως σε όλα σχεδόν τα υποπεδία των μαθηματικών. Όπως υποδηλώνουν τα ονόματά τους και η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση είναι δύο ειδικές συναρτήσεις.

Μια συνάρτηση είναι μια σχέση μεταξύ δύο συνόλων που ορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε για κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου, η τιμή που αντιστοιχεί σε αυτό στο δεύτερο σύνολο, είναι μοναδική. Έστω ƒ μια συνάρτηση που ορίζεται από το σύνολο A στο σύνολο B. Τότε για κάθε x ϵ A, το σύμβολο ƒ(x) υποδηλώνει τη μοναδική τιμή στο σύνολο B που αντιστοιχεί στο x. Ονομάζεται η εικόνα του x κάτω από το ƒ. Επομένως, μια σχέση ƒ από το Α στο Β είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν, για κάθε x ϵ A και y ϵ A, αν x=y τότε ƒ(x)=ƒ(y). Το σύνολο A ονομάζεται τομέας της συνάρτησης ƒ και είναι το σύνολο στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση.

Τι είναι η εκθετική συνάρτηση;

Η εκθετική συνάρτηση είναι η συνάρτηση που δίνεται από το ƒ(x)=e^x, όπου e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) και είναι ένας υπερβατικός παράλογος αριθμός. Μία από τις ειδικότητες της συνάρτησης είναι ότι η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με τον εαυτό της. δηλ. όταν y=e^x, dy/dx=e^x Επίσης, η συνάρτηση είναι μια παντού συνεχής αύξουσα συνάρτηση που έχει τον άξονα x ως ασύμπτωτο. Επομένως, η συνάρτηση είναι επίσης ένα προς ένα. Για κάθε x ϵ R, έχουμε ότι e^x> 0, και μπορεί να φανεί ότι βρίσκεται στο R ⁺ Επίσης, ακολουθεί τη βασική ταυτότητα e^x+y=e^xe^y και e⁰ =1. Η συνάρτηση μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας την επέκταση σειράς που δίνεται από 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

Τι είναι η λογαριθμική συνάρτηση;

Η λογαριθμική συνάρτηση είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης. Εφόσον, η εκθετική συνάρτηση είναι ένα προς ένα και σε R ⁺, μια συνάρτηση g μπορεί να οριστεί από το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών στο σύνολο των πραγματικών αριθμών που δίνεται από g(y)=x, εάν και μόνο εάν, y=e^x Αυτή η συνάρτηση g ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση ή συνηθέστερα ως φυσικός λογάριθμος. Συμβολίζεται με g(x)=log e^{x=ln x. Εφόσον είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης, αν πάρουμε την αντανάκλαση της γραφικής παράστασης της εκθετικής συνάρτησης πάνω από την ευθεία y=x, τότε θα έχουμε τη γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης. Επομένως, η συνάρτηση είναι ασυμπτωτική ως προς τον άξονα y.}

Η λογαριθμική συνάρτηση ακολουθεί ορισμένους βασικούς κανόνες από τους οποίους ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y και ln xy=y ln x είναι οι πιο σημαντικοί. Αυτή είναι επίσης μια αυξανόμενη συνάρτηση, και είναι συνεχής παντού. Επομένως, είναι επίσης ένα προς ένα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι βρίσκεται στο R.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της εκθετικής συνάρτησης και της λογαριθμικής συνάρτησης;

• Η εκθετική συνάρτηση δίνεται από ƒ(x)=e^{x, ενώ η λογαριθμική συνάρτηση δίνεται από g(x)=ln x και η πρώην είναι το αντίστροφο του τελευταία.}

• Το πεδίο ορισμού της εκθετικής συνάρτησης είναι ένα σύνολο πραγματικών αριθμών, αλλά το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης είναι ένα σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών.

• Το εύρος της εκθετικής συνάρτησης είναι ένα σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών, αλλά το εύρος της λογαριθμικής συνάρτησης είναι ένα σύνολο πραγματικών αριθμών.