Φόρμα Echelon vs Μειωμένη Φόρμα Echelon
Ο πίνακας που λαμβάνεται μετά την εκτέλεση πολλών βημάτων της διαδικασίας εξάλειψης Gauss λέγεται ότι είναι σε μορφή κλιμακίου ή σε μορφή κλιμακίου σειράς.
Ένας πίνακας στη μορφή κλιμακίου έχει τις ακόλουθες ιδιότητες.
• Όλες οι σειρές με μηδενικά βρίσκονται στο κάτω μέρος
• Οι πρώτες μη μηδενικές τιμές στις μη μηδενικές σειρές μετατοπίζονται προς τα δεξιά σε σχέση με τον πρώτο μη μηδενικό όρο στην προηγούμενη σειρά (βλ. παράδειγμα)
• Κάθε μη μηδενική σειρά ξεκινά με 1
Οι παρακάτω πίνακες έχουν τη μορφή κλιμακίου:
Η συνέχιση της διαδικασίας εξάλειψης δίνει έναν πίνακα με όλους τους άλλους όρους μιας στήλης που περιέχει το 1 είναι μηδέν. Ένας πίνακας σε αυτή τη μορφή λέγεται ότι είναι στη μορφή κλιμακίου μειωμένης σειράς.
Αλλά η παραπάνω συνθήκη περιορίζει την πιθανότητα να υπάρχουν στήλες με τιμές εκτός από το 1 και το μηδέν. Για παράδειγμα, το παρακάτω είναι επίσης στη μορφή κλιμακίου μειωμένης σειράς.
Η μορφή μειωμένου κλιμακίου σειράς βρίσκεται κατά την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξίσωσης χρησιμοποιώντας γκαουσιανή εξάλειψη. Ο πίνακας συντελεστών του πίνακα αποδίδει τη μορφή μειωμένου κλιμακίου σειράς και η λύση/τιμές για κάθε άτομο μπορούν να ληφθούν εύκολα από έναν απλό υπολογισμό.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του Echelon και του Reduced Echelon Form;
• Η μορφή κλιμακίου γραμμής είναι μία μορφή πίνακα που λαμβάνεται με τη διαδικασία εξάλειψης Gauss.
• Στη μορφή κλιμακίου γραμμής, τα μη μηδενικά στοιχεία βρίσκονται στην επάνω δεξιά γωνία και κάθε μη μηδενική σειρά έχει ένα 1. Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο στις μη μηδενικές σειρές μετατοπίζεται προς τα δεξιά μετά από κάθε σειρά.
• Περαιτέρω διαδικασία εξάλειψης Gauss δίνει έναν ακόμη πιο απλοποιημένο πίνακα, όπου όλα τα άλλα στοιχεία σε μια στήλη που περιέχει 1 είναι μηδέν. Ένας πίνακας με αυτή τη μορφή λέγεται ότι είναι σε μορφή κλιμακίου μειωμένης σειράς. Δηλαδή, σε μορφή κλιμακίου μειωμένης σειράς, δεν μπορεί να υπάρχει στήλη που να περιλαμβάνει το 1 και μια τιμή διαφορετική από το μηδέν.
