Ολοκλήρωση εναντίον διαφοροποίησης
Ολοκλήρωση και διαφοροποίηση είναι δύο θεμελιώδεις έννοιες στον λογισμό, που μελετά την αλλαγή. Ο λογισμός έχει μεγάλη ποικιλία εφαρμογών σε πολλούς τομείς όπως η επιστήμη, η οικονομία ή τα οικονομικά, η μηχανική κ.λπ.
Διαφοροποίηση
Η διαφοροποίηση είναι η αλγεβρική διαδικασία υπολογισμού των παραγώγων. Παράγωγος μιας συνάρτησης είναι η κλίση ή η κλίση της καμπύλης (γραφική παράσταση) σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο. Η κλίση μιας καμπύλης σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο είναι η κλίση της εφαπτομένης που σύρεται σε αυτήν την καμπύλη στο δεδομένο σημείο. Για μη γραμμικές καμπύλες, η κλίση της καμπύλης μπορεί να ποικίλλει σε διαφορετικά σημεία κατά μήκος του άξονα. Επομένως, είναι δύσκολο να υπολογιστεί η κλίση ή η κλίση σε οποιοδήποτε σημείο. Η διαδικασία διαφοροποίησης είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό της κλίσης της καμπύλης σε οποιοδήποτε σημείο.
Ένας άλλος ορισμός για το παράγωγο είναι, "η αλλαγή μιας ιδιότητας σε σχέση με μια αλλαγή μονάδας μιας άλλης ιδιότητας."
Έστω η f(x) συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής x. Εάν προκληθεί μια μικρή αλλαγή (Δx) στην ανεξάρτητη μεταβλητή x, προκαλείται αντίστοιχη αλλαγή ∆f(x) στη συνάρτηση f(x). τότε ο λόγος Δf(x)/Δx είναι μέτρο του ρυθμού μεταβολής της f(x), ως προς το x. Η οριακή τιμή αυτού του λόγου, καθώς το Δx τείνει στο μηδέν, το lim∆x→0(f(x)/∆x) ονομάζεται πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f(x), σε σχέση με το x; με άλλα λόγια, η στιγμιαία αλλαγή της f(x) σε ένα δεδομένο σημείο x.
Integration
Ολοκλήρωση είναι η διαδικασία υπολογισμού είτε ορισμένου ολοκληρώματος είτε αόριστου ολοκληρώματος. Για μια πραγματική συνάρτηση f(x) και ένα κλειστό διάστημα [a, b] στην πραγματική ευθεία, το οριστικό ολοκλήρωμα, a∫b f(x), ορίζεται ως η περιοχή μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, του οριζόντιου άξονα και των δύο κάθετων γραμμών στα τελικά σημεία ενός διαστήματος. Όταν δεν δίνεται ένα συγκεκριμένο διάστημα, είναι γνωστό ως αόριστο ολοκλήρωμα. Ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας αντι-παράγωγα.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της ολοκλήρωσης και της διαφοροποίησης;
Η διαφορά μεταξύ ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης μοιάζει με τη διαφορά μεταξύ «τετραγωνισμού» και «παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα». Αν τετραγωνίσουμε έναν θετικό αριθμό και στη συνέχεια πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του αποτελέσματος, η θετική τετραγωνική ρίζα θα είναι ο αριθμός που τετραγωνίσατε. Ομοίως, εάν εφαρμόσετε την ολοκλήρωση στο αποτέλεσμα που αποκτήσατε διαφοροποιώντας μια συνεχή συνάρτηση f(x), θα οδηγήσει πίσω στην αρχική συνάρτηση και αντίστροφα.
Για παράδειγμα, έστω F(x) το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x)=x, επομένως, F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, όπου c είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Όταν διαφοροποιούμε την F(x) ως προς το x παίρνουμε, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, επομένως, η παράγωγος της F(x) είναι ίση με f(x).
Σύνοψη
– Η διαφοροποίηση υπολογίζει την κλίση μιας καμπύλης, ενώ η ολοκλήρωση υπολογίζει την περιοχή κάτω από την καμπύλη.
– Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη διαδικασία διαφοροποίησης και το αντίστροφο.
