Ορθογώνιο εναντίον Ορθογώνιο
Στα μαθηματικά, οι δύο λέξεις ορθογώνιο και ορθοκανονικό χρησιμοποιούνται συχνά μαζί με ένα σύνολο διανυσμάτων. Εδώ, ο όρος «διάνυσμα» χρησιμοποιείται με την έννοια ότι είναι ένα στοιχείο ενός διανυσματικού χώρου - μια αλγεβρική δομή που χρησιμοποιείται στη γραμμική άλγεβρα. Για τη συζήτησή μας, θα εξετάσουμε έναν χώρο εσωτερικού προϊόντος – έναν διανυσματικό χώρο V μαζί με ένα εσωτερικό γινόμενο που ορίζεται στο V.
Για παράδειγμα, για ένα εσωτερικό γινόμενο, το διάστημα είναι το σύνολο όλων των τρισδιάστατων διανυσμάτων θέσης μαζί με το συνηθισμένο γινόμενο κουκίδων.
Τι είναι το ορθογώνιο;
Ένα μη κενό υποσύνολο S ενός εσωτερικού χώρου γινομένου V λέγεται ότι είναι ορθογώνιο, εάν και μόνο εάν για κάθε διακριτό u, v στο S, [u, v]=0; δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο των u και v είναι ίσο με το μηδενικό κλιμακωτό στον χώρο του εσωτερικού γινομένου.
Για παράδειγμα, στο σύνολο όλων των τρισδιάστατων διανυσμάτων θέσης, αυτό ισοδυναμεί με το να πούμε ότι, για κάθε ξεχωριστό ζεύγος διανυσμάτων θέσης p και q στο S, τα p και q είναι κάθετα μεταξύ τους. (Θυμηθείτε ότι το εσωτερικό γινόμενο σε αυτόν τον διανυσματικό χώρο είναι το γινόμενο κουκίδων. Επίσης, το γινόμενο κουκίδων δύο διανυσμάτων είναι ίσο με 0 αν και μόνο εάν τα δύο διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους.)
Θεωρήστε το σύνολο S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, το οποίο είναι ένα υποσύνολο των τρισδιάστατων διανυσμάτων θέσης. Παρατηρήστε ότι (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Επομένως, το σύνολο S είναι ορθογώνιο. Συγκεκριμένα, δύο διανύσματα λέγονται ορθογώνια εάν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι 0. Επομένως, κάθε ζεύγος διανυσμάτων σε Sis ορθογώνιο.
Τι είναι η ορθοκανονική;
Ένα μη κενό υποσύνολο S ενός εσωτερικού χώρου γινομένου V λέγεται ότι είναι ορθοκανονικό εάν και μόνο εάν το S είναι ορθογώνιο και για κάθε διάνυσμα u στο S, [u, u]=1. Επομένως, μπορεί να φανεί ότι κάθε ορθοκανονικό σύνολο είναι ορθογώνιο αλλά όχι το αντίστροφο.
Για παράδειγμα, στο σύνολο όλων των τρισδιάστατων διανυσμάτων θέσης, αυτό ισοδυναμεί με το να πούμε ότι, για κάθε ξεχωριστό ζεύγος διανυσμάτων θέσης p και q στο S, τα p και q είναι κάθετα μεταξύ τους, και για κάθε p σε S, |p|=1. Αυτό συμβαίνει επειδή η συνθήκη [p, p]=1 μειώνεται σε p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, που ισοδυναμεί με |p |=1. Επομένως, με δεδομένο ένα ορθογώνιο σύνολο μπορούμε πάντα να σχηματίσουμε ένα αντίστοιχο ορθοκανονικό σύνολο διαιρώντας κάθε διάνυσμα με το μέγεθός του.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} είναι ένα ορθοκανονικό υποσύνολο του συνόλου όλων των τρισδιάστατων διανυσμάτων θέσης. Είναι εύκολο να δούμε ότι προέκυψε διαιρώντας καθένα από τα διανύσματα του συνόλου S, με τα μεγέθη τους.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ορθογωνικού και ορθοκανονικού;
- Ένα μη κενό υποσύνολο S ενός εσωτερικού χώρου γινομένου V λέγεται ότι είναι ορθογώνιο, αν και μόνο αν για κάθε διακριτό u, v στο S, [u, v]=0. Ωστόσο, είναι ορθοκανονικό, αν και μόνο εάν μια πρόσθετη συνθήκη – για κάθε διάνυσμα u στο S, [u, u]=1 ικανοποιείται.
- Οποιοδήποτε ορθοκανονικό σύνολο είναι ορθογώνιο αλλά όχι το αντίστροφο.
- Οποιοδήποτε ορθογώνιο σύνολο αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό ορθοκανονικό σύνολο, αλλά ένα ορθοκανονικό σύνολο μπορεί να αντιστοιχεί σε πολλά ορθογώνια σύνολα.
