Laplace vs Fourier Transforms
Τόσο ο μετασχηματισμός Laplace όσο και ο μετασχηματισμός Fourier είναι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί, οι οποίοι χρησιμοποιούνται συνήθως ως μαθηματικές μέθοδοι για την επίλυση μαθηματικά μοντελοποιημένων φυσικών συστημάτων. Η διαδικασία είναι απλή. Ένα πολύπλοκο μαθηματικό μοντέλο μετατρέπεται σε ένα απλούστερο, επιλύσιμο μοντέλο χρησιμοποιώντας έναν ολοκληρωτικό μετασχηματισμό. Μόλις λυθεί το απλούστερο μοντέλο, εφαρμόζεται ο αντίστροφος ολοκληρωτικός μετασχηματισμός, ο οποίος θα έδινε τη λύση στο αρχικό μοντέλο.
Για παράδειγμα, δεδομένου ότι τα περισσότερα φυσικά συστήματα καταλήγουν σε διαφορικές εξισώσεις, μπορούν να μετατραπούν σε αλγεβρικές εξισώσεις ή σε χαμηλότερο βαθμό εύκολα επιλύσιμες διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας έναν ολοκληρωτικό μετασχηματισμό. Τότε η επίλυση του προβλήματος θα γίνει ευκολότερη.
Τι είναι ο μετασχηματισμός Laplace;
Δίνεται μια συνάρτηση f (t) μιας πραγματικής μεταβλητής t, ο μετασχηματισμός Laplace της ορίζεται από το ολοκλήρωμα [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (όποτε υπάρχει), που είναι συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής s. Συνήθως συμβολίζεται με L { f (t)}. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης F (s) λαμβάνεται ως η συνάρτηση f (t) με τέτοιο τρόπο ώστε L { f (t)}=F (s), και στη συνήθη μαθηματική σημειογραφία γράφουμε, L-1{ F (s)}=f (t). Ο αντίστροφος μετασχηματισμός μπορεί να γίνει μοναδικός εάν δεν επιτρέπονται μηδενικές συναρτήσεις. Μπορεί κανείς να αναγνωρίσει αυτούς τους δύο ως γραμμικούς τελεστές που ορίζονται στον χώρο συναρτήσεων, και είναι επίσης εύκολο να διαπιστωθεί ότι, L -1{ L { f (t)}}=f (t), εάν δεν επιτρέπονται μηδενικές συναρτήσεις.
Ο παρακάτω πίνακας παραθέτει τους μετασχηματισμούς Laplace ορισμένων από τις πιο κοινές συναρτήσεις.
Τι είναι ο μετασχηματισμός Fourier;
Δίνεται μια συνάρτηση f (t) μιας πραγματικής μεταβλητής t, ο μετασχηματισμός Laplace της ορίζεται από το ολοκλήρωμα [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (όποτε υπάρχει), και συνήθως συμβολίζεται με F { f (t)}. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός F -1{ F (α)} δίνεται από το ολοκλήρωμα [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Ο μετασχηματισμός Fourier είναι επίσης γραμμικός και μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τελεστής που ορίζεται στον χώρο συναρτήσεων.
Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Fourier, η αρχική συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως εξής, υπό τον όρο ότι η συνάρτηση έχει μόνο πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών και είναι απολύτως ολοκληρωμένη.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του Laplace και των μετασχηματισμών Fourier;
- Ο μετασχηματισμός Fourier μιας συνάρτησης f (t) ορίζεται ως [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], ενώ ο μετασχηματισμός laplace του ορίζεται να είναι [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Ο μετασχηματισμός Fourier ορίζεται μόνο για συναρτήσεις που ορίζονται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, ενώ ο μετασχηματισμός Laplace δεν απαιτεί να οριστεί η συνάρτηση στο σύνολο των αρνητικών πραγματικών αριθμών.
- Μετασχηματισμός Fourier είναι μια ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού Laplace. Μπορεί να φανεί ότι και οι δύο συμπίπτουν για μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. (δηλαδή, πάρτε τα s στο Laplace ως iα + β όπου τα α και β είναι πραγματικά έτσι ώστε e β=1/ √(2ᴫ))
- Κάθε συνάρτηση που έχει μετασχηματισμό Fourier θα έχει μετασχηματισμό Laplace αλλά όχι το αντίστροφο.
