Αμοιβαία αποκλειστικές εναντίον ανεξάρτητων εκδηλώσεων
Οι άνθρωποι συχνά συγχέουν την έννοια των συμβάντων που αποκλείουν αμοιβαία με ανεξάρτητες εκδηλώσεις. Στην πραγματικότητα, αυτά είναι δύο διαφορετικά πράγματα.
Έστω Α και Β οποιαδήποτε δύο συμβάντα που σχετίζονται με ένα τυχαίο πείραμα Ε. Το P(A) ονομάζεται "Πιθανότητα του Α". Ομοίως, μπορούμε να ορίσουμε την πιθανότητα του B ως P(B), την πιθανότητα του A ή του B ως P(A∪B) και την πιθανότητα του A και του B ως P(A∩B). Στη συνέχεια, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Ωστόσο, δύο συμβάντα λέγεται ότι αλληλοαποκλείονται εάν η εμφάνιση ενός γεγονότος δεν επηρεάζει το άλλο. Με άλλα λόγια, δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Επομένως, εάν δύο γεγονότα Α και Β είναι αμοιβαία αποκλειόμενα, τότε A∩B=∅ και ως εκ τούτου, αυτό σημαίνει P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Έστω A και B δύο συμβάντα σε ένα δειγματικό χώρο S. Η υπό όρους πιθανότητα του A, δεδομένου ότι έχει συμβεί το B, συμβολίζεται με P(A | B) και ορίζεται ως; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), παρέχεται P(B)>0. (Διαφορετικά, δεν ορίζεται.)
Ένα γεγονός Α λέγεται ότι είναι ανεξάρτητο από ένα γεγονός Β, εάν η πιθανότητα να συμβεί το Α δεν επηρεάζεται από το αν έχει συμβεί ή όχι το Β. Με άλλα λόγια, το αποτέλεσμα του γεγονότος Β δεν έχει καμία επίδραση στο αποτέλεσμα του γεγονότος Α. Επομένως, P(A | B)=P(A). Ομοίως, το Β είναι ανεξάρτητο του Α εάν P(B)=P(B | A). Επομένως, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αν τα Α και Β είναι ανεξάρτητα γεγονότα, τότε P(A∩B)=P(A). P(B)
Υποθέστε ότι ένας αριθμημένος κύβος έχει τυλιχτεί και ένα ωραίο κέρμα έχει αναποδογυριστεί. Έστω A το γεγονός που αποκτά κεφαλή και B το γεγονός που κυλά έναν ζυγό αριθμό. Τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα, επειδή αυτό το αποτέλεσμα του ενός δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα του άλλου. Επομένως, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Εφόσον P(A∩B)≠0, τα Α και Β δεν μπορούν να αλληλοαποκλείονται.
Υποθέστε ότι μια τεφροδόχος περιέχει 7 λευκά μάρμαρα και 8 μαύρα μάρμαρα. Ορίστε το γεγονός Α ως σχέδιο ενός λευκού μαρμάρου και το γεγονός Β ως σχέδιο ενός μαύρου μαρμάρου. Αν υποθέσουμε ότι κάθε μάρμαρο θα αντικατασταθεί αφού σημειώσουμε το χρώμα του, τότε τα P(A) και P(B) θα είναι πάντα τα ίδια, όσες φορές κι αν τραβήξουμε από την τεφροδόχο. Η αντικατάσταση των μαρμάρων σημαίνει ότι οι πιθανότητες δεν αλλάζουν από κλήρωση, ανεξάρτητα από το χρώμα που επιλέξαμε στην τελευταία κλήρωση. Επομένως, το γεγονός Α και Β είναι ανεξάρτητα.
Ωστόσο, αν τα μάρμαρα σχεδιάστηκαν χωρίς αντικατάσταση, τότε όλα αλλάζουν. Σύμφωνα με αυτήν την υπόθεση, τα γεγονότα Α και Β δεν είναι ανεξάρτητα. Σχεδιάζοντας ένα λευκό μάρμαρο την πρώτη φορά αλλάζουν οι πιθανότητες να σχεδιάσετε ένα μαύρο μάρμαρο στο δεύτερο σχέδιο και ούτω καθεξής. Με άλλα λόγια, κάθε κλήρωση έχει επίδραση στην επόμενη κλήρωση και έτσι οι μεμονωμένες κληρώσεις δεν είναι ανεξάρτητες.
Διαφορά μεταξύ αμοιβαία αποκλειστικών και ανεξάρτητων εκδηλώσεων
– Η αμοιβαία αποκλειστικότητα των γεγονότων σημαίνει ότι δεν υπάρχει επικάλυψη μεταξύ των συνόλων Α και Β. Ανεξαρτησία γεγονότων σημαίνει ότι το γεγονός του Α δεν επηρεάζει το γεγονός του Β.
– Εάν δύο συμβάντα A και B αλληλοαποκλείονται, τότε P(A∩B)=0.
– Εάν δύο συμβάντα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε P(A∩B)=P(A). P(B)
