Associative vs Commutative
Στην καθημερινή μας ζωή, πρέπει να χρησιμοποιούμε αριθμούς όποτε χρειάζεται να μετρήσουμε κάτι. Στο μπακάλικο, στο βενζινάδικο, ακόμα και στην κουζίνα, πρέπει να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε δύο ή περισσότερες ποσότητες. Από την πρακτική μας, εκτελούμε αυτούς τους υπολογισμούς αρκετά αβίαστα. Ποτέ δεν παρατηρούμε ή αμφισβητούμε γιατί κάνουμε αυτές τις λειτουργίες με αυτόν τον συγκεκριμένο τρόπο. Ή γιατί αυτοί οι υπολογισμοί δεν μπορούν να γίνουν με διαφορετικό τρόπο. Η απάντηση κρύβεται στον τρόπο που ορίζονται αυτές οι πράξεις στο μαθηματικό πεδίο της άλγεβρας.
Στην άλγεβρα, μια πράξη που περιλαμβάνει δύο ποσότητες (όπως πρόσθεση) ορίζεται ως δυαδική πράξη. Πιο συγκεκριμένα είναι μια πράξη μεταξύ δύο στοιχείων από ένα σύνολο και αυτά τα στοιχεία ονομάζονται «τελεστής». Πολλές πράξεις στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των αριθμητικών πράξεων που αναφέρθηκαν προηγουμένως και εκείνων που συναντώνται στη θεωρία συνόλων, τη γραμμική άλγεβρα και τη μαθηματική λογική μπορούν να οριστούν ως δυαδικές πράξεις.
Υπάρχει ένα σύνολο κανόνων που διέπουν μια συγκεκριμένη δυαδική λειτουργία. Οι συσχετιστικές και οι ανταλλάξιμες ιδιότητες είναι δύο θεμελιώδεις ιδιότητες των δυαδικών πράξεων.
Περισσότερα σχετικά με την ιδιότητα ανταλλαγής
Ας υποθέσουμε ότι κάποια δυαδική πράξη, που συμβολίζεται με το σύμβολο ⊗, εκτελείται στα στοιχεία Α και Β. Εάν η σειρά των τελεστών δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της πράξης, τότε η πράξη λέγεται ότι είναι ανταλλακτική. δηλ. αν A ⊗ B=B ⊗ A τότε η πράξη είναι ανταλλακτική.
Οι αριθμητικές πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού είναι ανταλλάξιμες. Η σειρά των αριθμών που αθροίζονται ή πολλαπλασιάζονται μαζί δεν επηρεάζει την τελική απάντηση:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Αλλά στην περίπτωση της διαίρεσης η αλλαγή στη σειρά δίνει το αντίστροφο του άλλου, και στην αφαίρεση η αλλαγή δίνει το αρνητικό του άλλου. Επομένως, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 και 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 και 5 ÷ 4=1,25 [σε αυτήν την περίπτωση A, B ≠ 1 και 0]
Στην πραγματικότητα, η αφαίρεση λέγεται ότι είναι αντι-ανταλλαγή. όπου A – B=– (B – A).
Επίσης, τα λογικά συνδετικά στοιχεία, ο σύνδεσμος, ο διαχωρισμός, η συνεπαγωγή και η ισοδυναμία, είναι επίσης μεταθετικά. Οι συναρτήσεις αλήθειας είναι επίσης ανταλλάξιμες. Η ένωση και η διασταύρωση συνόλου λειτουργιών είναι ανταλλάξιμες. Η πρόσθεση και το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι επίσης ανταλλάξιμα.
Αλλά η αφαίρεση του διανύσματος και το γινόμενο του διανύσματος δεν είναι ανταλλάξιμα (το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι αντι-ανταλλαγή). Η πρόσθεση του πίνακα είναι ανταλλάξιμη, αλλά ο πολλαπλασιασμός και η αφαίρεση δεν είναι ανταλλάξιμες.(Ο πολλαπλασιασμός δύο πινάκων μπορεί να είναι ανταλλάξιμος σε ειδικές περιπτώσεις, όπως ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με το αντίστροφό του ή τον πίνακα ταυτότητας, αλλά σίγουρα οι πίνακες δεν είναι ανταλλάξιμοι εάν οι πίνακες δεν είναι του ίδιου μεγέθους)
Περισσότερα για την Associative Property
Μια δυαδική πράξη λέγεται ότι είναι συσχετιστική εάν η σειρά της εκτέλεσης δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα όταν υπάρχουν δύο ή περισσότερες εμφανίσεις του τελεστή. Θεωρήστε τα στοιχεία A, B και C και τη δυαδική πράξη ⊗. Η πράξη ⊗ λέγεται ότι είναι συσχετιστική εάν
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Από τις βασικές αριθμητικές συναρτήσεις, μόνο η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι συνειρμικοί.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Η αφαίρεση και η διαίρεση δεν είναι συνειρμικές;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 και (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 και (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Οι λογικοί σύνδεσμοι διαχωρισμός, σύνδεσμος και ισοδυναμία είναι συνειρμικοί, όπως επίσης και η ένωση πράξεων συνόλου και τομή. Ο πίνακας και η προσθήκη διανύσματος είναι συσχετιστικές. Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι συσχετιστικό, αλλά το γινόμενο του διανύσματος δεν είναι. Ο πολλαπλασιασμός πίνακα είναι συσχετιστικός μόνο υπό ειδικές συνθήκες.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της ανταλλακτικής και της συσχετιστικής ιδιότητας;
• Τόσο η συσχετιστική ιδιότητα όσο και η ανταλλακτική ιδιότητα είναι ειδικές ιδιότητες των δυαδικών πράξεων και άλλες τις ικανοποιούν και άλλες όχι.
• Αυτές οι ιδιότητες μπορούν να φανούν σε πολλές μορφές αλγεβρικών πράξεων και άλλων δυαδικών πράξεων στα μαθηματικά, όπως η τομή και η ένωση στη θεωρία συνόλων ή οι λογικές συνδέσεις.
• Η διαφορά μεταξύ commutative και associative είναι ότι η commutative ιδιότητα δηλώνει ότι η σειρά των στοιχείων δεν αλλάζει το τελικό αποτέλεσμα ενώ η συσχετιστική ιδιότητα δηλώνει ότι η σειρά με την οποία εκτελείται η πράξη δεν επηρεάζει την τελική απάντηση.
